Re: Tennis

Messaggioda superpippone » 12/06/2019, 10:43

Formula generale.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$(k!*(2n-k)!)/((2n)!)*2^k*(n!)/((n-k)!*k!)$

Sperando di non incorrere negli strali di Alberto..........
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Re: Tennis

Messaggioda axpgn » 12/06/2019, 12:52

Bravissimo! Tutto perfetto! =D> =D> :smt023





Per i dettagli, a più tardi … :D
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Re: Tennis

Messaggioda axpgn » 12/06/2019, 15:10

Ecco …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La soluzione generale proviene da questo ragionamento …

Diciamo che un giocatore è nella posizione $s$ se viene estratto per $s\text(-esimo)$.
Il numero di modi diversi in cui distribuire $k$ femmine tra $2n$ posizioni è $((2n),(k))$
Ovviamente non tutte queste sequenze sono "buone". Quante sono quest'ultime?
Supponiamo di raggruppare le posizioni a coppie ovvero $(1,2),(3,4),...,(2n-1,2n)$.
Se associamo ognuna delle $k$ femmine ad una coppia diversa abbiamo raggiunto il nostro scopo.
I modi diversi di fare questo sono $((n),(k))$
Però, siccome in ogni incontro la donna può essere scelta per prima o per seconda, il tutto va moltiplicato per $2^k$.

In conclusione avremo $p(k,n)=[((n),(k))]/[((2n),(k))]*2^k$ che può essere riscritto anche così $p(k,n)=[((2n-k),(n))]/[((2n),(n))]*2^k$

Tra l'altro è una formula che funziona anche per $k=0,1$

Per il caso $20/100$ è $p(k,n)~=9.2%$

@superpippone
La tua terza risposta al primo caso ($2/10$) è fantastica (mentre non mi è chiaro il perché della prima).

Io, in prima battuta, avevo fatto così:
Ci sono $10!$ sequenze di estrazione possibili.
Quando le due donne sono le prime due estratte abbiamo $8!$ sequenze possibili (permutazioni degli uomini), da moltiplicare per due per l'intercambiabilità delle donne e poi moltiplicare per $5$ perché gli incontri sono cinque.

Quindi $(8!*10)/(10!)=1/9$

:D


Cordialmente, Alex
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Re: Tennis

Messaggioda superpippone » 13/06/2019, 09:28

Alex
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Intendevo dire che la probabilità cle prime due estratte siano donne è $2/10*1/9=1/45$ Però potrebbero essere la terza e la quarta, la quinta e la sesta, la settima e l'ottava, la nona e la decima. Perciò ho moltiplicato per $5$ e $1/45*5=1/9$
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Re: Tennis

Messaggioda andomito » 13/06/2019, 09:37

io ho usato un altro metodo, inducendo la soluzione da quella del primo caso, e mi viene una probabilità del 77,9% che ci sia almeno una coppia di donne.
Prima di fare figuracce ad esporre il metodo usato, però, vado a fare la verifica con la formula generale che avete trovato voi.
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Re: Tennis

Messaggioda andomito » 13/06/2019, 10:31

andomito ha scritto:io ho usato un altro metodo, inducendo la soluzione da quella del primo caso, e mi viene una probabilità del 77,9% che ci sia almeno una coppia di donne.
Prima di fare figuracce ad esporre il metodo usato, però, vado a fare la verifica con la formula generale che avete trovato voi.


Rettifico, anche con il mio metodo il risultato viene giusto (avevo fatto male il conto di una probabilità cumulata)
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Dalla risoluzione del primo quesito ricavo che se k = 2 la probabilità di avere una coppia di donne è 1/(2n-1) [nel caso specifico 1/99]
A questo punto nel caso generale fisso l'attenzione su una coppia di donne (D1 e D2)
la probabilità che risulti accoppiata è 1/(2n-1)
Ne deduco che la probabilità che D1 sia accoppiata con una qualunque delle compagne è (k-1)/(2n-1)[nel caso specifico 19/99]
Esclusi tali casi, rimane la probabilità 1-(k-1)/(2n-1) [nel caso specifico 80/99] che rimangano 2n-2 tennisti da accoppiare di cui k-1 donne.
A questo punto la signora D2 ha probabilità (k-2)/(2n-3) * (2n-k)/(2n-1) [nel caso specifico 80/99 * 18/97] di essere accoppiata con una compagna.
Esclusi tali casi, rimane la probabilità 1-(k-1)/(2n-1)-(k-2)/(2n-3) * (2n-k)/(2n-1) che rimangano 2n-4 tennisti da accoppiare di cui k-2 donne. [ps è qui che avevo fatto l'errore nel precedente post]
E via così, con una tabellina 20 x 5 del buon Excel si ricava che la probabilità residua che nessuna delle signore sia accoppiata con una compagna è proprio 9,2 %


Giusto per dimostrare a axpgn che anche il caso 20/100 può risolversi con l'approccio muscolare dell'esame di tutta la casistica
andomito
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Re: Tennis

Messaggioda axpgn » 13/06/2019, 14:07

@superpippone
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Questo l'avevo capito però c'è qualcosa che mi sfugge: $2/10*1/9=1/45$ è la probabilità che le prime due estrazioni siano femmine ma, a priori, non è detto che sia la stessa probabilità che la quinta e la sesta siano femmine; che funzioni è evidente ma io rimango con questo dubbio … :-k
Peraltro la semplicità della tua terza soluzione è fantastica :smt023
Invidio la capacità che hai di "vedere" le cose ...


@andomito
Mai avuto dubbi che l'approccio "muscolare" funzioni (soprattutto in quest'epoca di "forza bruta" :wink: ), volevo solo evidenziare come così facendo si fa molta più fatica, aumenta la probabilità di commettere errori ( :-D ) ed è più difficile da comprendere/valutare.

IMHO :D

Cordialmente, Alex
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Re: Tennis

Messaggioda superpippone » 13/06/2019, 17:08

axpgn
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La mia prima soluzione è parente della soluzione "muscolare" di andomito. La probablità che la la coppia di donne si trovi in prima-seconda posizione è palese $2/10*1/9=1/45$. Che si trovi in terza-quarta posizione, è $8/10*7/9*2/8*1/7=1/45$

Che si trovi in quinta e sesta posizione, è $8/10*7/9*6/8*5/7*2/6*1/5=1/45$ etc. etc. Ho dato per scontato qualche passaggio.......

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Una diversa interpretazione della mia terza soluzione. Pensa di avere 10 carte: 8 rosse e 2 nere. Le metti in un'unica fila , coperte, sul tavolo. E le dividi in 5 sottogruppi di 2. A questo punto è lapalissiano che in qualunque posizione si trovi la prima carta nere, la seconda ha a disposizione un solo "posto" su 9 per fare coppia.


andomito
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La tua soluzione "muscolare" è certamente corretta. Però bisogna sempre cercare di semplificare il procedimento. E non è detto che sempre si abbia la possibilità di utilizzare excel, PC, calcolatrici, testi, tabelle, tavole, etc. etc.
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Re: Tennis

Messaggioda axpgn » 13/06/2019, 19:16

@superpippone

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superpippone ha scritto:Ho dato per scontato qualche passaggio.......

Non sono mica tommik :-D

superpippone ha scritto: A questo punto è lapalissiano che in qualunque posizione si trovi la prima carta nere, la seconda ha a disposizione un solo "posto" su 9 per fare coppia.

Oh, ma questa è chiarissima ed è bellissima proprio per la semplicità :smt023


Cordialmente, Alex
axpgn
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Re: Tennis

Messaggioda andomito » 14/06/2019, 09:17

superpippone ha scritto:
andomito
La tua soluzione "muscolare" è certamente corretta. Però bisogna sempre cercare di semplificare il procedimento. E non è detto che sempre si abbia la possibilità di utilizzare excel, PC, calcolatrici, testi, tabelle, tavole, etc. etc.[/spoiler]


Perché invece strumenti per calcolare 100! li hai sempre in tasca… :-D
Volendo risolvere con carta e penna bisognerebbe sviluppare o i fattoriali, o la serie che risulta dal mio metodo, e alla fine i conti da fare sarebbero sostanzialmente gli stessi, anche se magari organizzati concettualmente in maniera diversa.
Semplicemente non avendo più tanta dimestichezza con il calcolo combinatorio (visti i decenni passati dagli esami di analisi) "vedo" più immediatamente l'analisi bruta della casistica.
andomito
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