ho questa dimostrazione da fare per l'esame di sistemi dinamici
siano $F:A->RR^n$ un campo vettoriale $C^1$(nell'interno di $A$), $x_0$ un punto singolare(punto di equilibrio per il sistema) per $F$ e $V:Omega->RR$ una funzione di Ljapunov per $x_0$ allora $x_0$ è un equilibrio stabile.
precisazioni
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con funzione di Ljapunov per $x_0$ intendo le seguenti cose
1) $x_0$ è interno a $Omega$
2) è definita positiva ossia ${(V(x)geq0),(V(x)=0 <=> x=x_0):}$ in $Omega$
3) $V$ è differenziabile all'interno di $Omega$ e $nablaV(x)*F(x)leq0$ in $Omega$
con punto singolare per il campo intendo semplicemente un punto nel quale il campo si annulla
1) $x_0$ è interno a $Omega$
2) è definita positiva ossia ${(V(x)geq0),(V(x)=0 <=> x=x_0):}$ in $Omega$
3) $V$ è differenziabile all'interno di $Omega$ e $nablaV(x)*F(x)leq0$ in $Omega$
con punto singolare per il campo intendo semplicemente un punto nel quale il campo si annulla
devo dimostrare in poche parole che per condizioni $overline(x)$ iniziali vicino al punto di equilibrio le orbite soluzioni del sistema
${(phi'(t)=F(phi(t))),(phi(0)=overline(x)) :}$
rimangono sempre vicine all'equilibrio.
dimostrazione
dimostro che il teorema è vero per un sistema fondamentale di intorni che saranno i dischi $D(x_0,epsilon)$ contenuti in $Omega$
sia $epsilon>0$ in modo tale che $D(x_0,epsilon)subsetOmega$; la funzione $V:partialD(x_0,epsilon)->RR$ è continua su questo insieme che è compatto e pertanto ammette un minimo assoluto
sia
$m:=min_(x in partialD(x_0,epsilon))V(x)$
per la continuità di $V:Omega->RR$ in $x_0$ esiste un $delta>0$ per cui
$forallx in Omega(norm(x-x_0)<delta => |V(x)-V(x_0)|<m/2)$
in particolare poiché $V$ è di Ljapunov per $x_0$ si ha che $V(x_0)=0$ e $V(x)geq0$ quindi
$forallx in Omega(norm(x-x_0)<delta => 0leqV(x)<m/2)$
a patto di porre $delta'=min{delta, epsilon}$ posso supporre che $delta<epsilon$
prendo un qualsiasi $overline(x) in B(x_0,delta)$ e considero la soluzione $phi(t)$ di
${(phi'(t)=F(phi(t))),(phi(0)=overline(x)) :}$
tale soluzione esiste ed è unica poichè il campo vettoriale è differenziabile con continuità in un intorno di $overline(x)$
Suppongo per assurdo che per qualche $tgeq0$ si abbia $phi(t) notinB(x_0,epsilon)$ ovvero che esca dalla palletta
posso porre
$T=min{tgeq0: norm(phi(t)-x_0)geqepsilon}$
è un minimo per il fatto che la funzione $norm(phi(t)-x_0)$ è continua in $[0,+infty)$ quindi quella risulta essere la controimmagine di un chiuso ossia è chiusa in $[0,+infty)$ e anche in $RR$ quindi deve contenere l'estremo inferiore essendo inferiormente limitato
In particolare $T>0$ in quanto se fosse $T=0$ si avrebbe
$norm(phi(T)-x_0)=norm(overline(x)-x_0)<delta<epsilon$
per $0leqt<T$ deve essere $norm(phi(t)-x_0)<epsilon$ per non violare la minimalità di $T$
poichè la funzione $norm(phi(t)-x_0)$ è continua sul compatto connesso $[0,T]$ l'immagine deve essere un compatto connesso e $epsilon$ stando nell'immagine deve esistere un tempo $0leqtleqT$ per cui $norm(phi(t)-x_0)=epsilon$ ma per $0leqt<T$ si ha $norm(phi(t)-x_0)<epsilon$ quindi l'unica possibilità è che sia $norm(phi(T)-x_0)=epsilon$
ora per concludere
$V(phi(T))-V(overline(x))=int_(0)^(T)nablaV(phi(t))*phi'(t)dt=int_(0)^(T)nablaV(phi(t))*F(phi(t))dtleq0$
questa disuguaglianza segue dal fatto che per $0leqtleqT$ la funzione $phi(t)$ sta nel disco e quindi in $Omega$
dalle considerazioni fatte si otterrebbe $mleqV(phi(T))leqV(overline(x))<m/2$
Pertanto la funzione $phi$ non può attraversare la palletta.
Come vi sembra?