da Cosmoi » 12/06/2019, 18:18
Ciao! Grazie per il suggerimento, alla fine ho ragionato così:
Indicando con \(\displaystyle \theta \) l'angolo di rotazione dell'asta rispetto all'orizzontale si ottiene come energia potenziale gravitazionale:
\(\displaystyle U_{p} = Mgh = Mg{ L \over 2} \sin(\theta) \)
Rimane quindi da determinare l'energia potenziale elastica. Osserviamo che la distanza OB è pari ad L, ossia la lunghezza dell'asta, di conseguenza possiamo affermare che durante la rotazione dell'asta il punto A si muove su una traiettoria circolare di centro O e raggio L; inoltre si osserva che, essendo B, punto di attacco della molla, posizionato su tale circonferenza, la dilatazione della molla durante la rotazione dell'asta sarà equivalente alla lunghezza della corda sottesa all'arco di circonferenza AB, quindi:
\(\displaystyle AB = 2L \sin({{\pi \over 2} - \theta \over 2}) \)
Tramite le formule di biserzione e degli archi associati si ottiene:
\(\displaystyle AB = \Delta l = 2L \sin({{\pi \over 2} - \theta \over 2}) = 2L \sqrt{{(1 - \cos({\pi \over 2} -\theta)\over 2}} = {L\over 2} \sqrt{1 - \cos({\pi \over 2}-\theta)} = {L \over 2} \sqrt{1-\sin(\theta)} \)
Siamo ora in grado di scrivere l'energia potenziale elastica in funzione di \(\displaystyle \theta \):
\(\displaystyle U_{e} = {k \over 2}({L^{2} \over 4} (1 -\sin(\theta))) \)
Scriviamo dunque l'energia potenziale totale del sistema data da:
\(\displaystyle U_{tot} = {k \over 8} L^{2} (1 -\sin(\theta)) + Mg {L \over 2} \sin(\theta) \)
Derivando \(\displaystyle U_{tot} \) rispetto a \(\displaystyle \theta \) e ponendolo uguale a zero si ottengono le posizioni di equilibrio; tramite lo studio della derivata seconda siamo in grado poi di chiarirne la stabilità o meno. Ditemi se sto sbagliando qualcosa.
Ancora grazie infinite!