Compattezza

Messaggioda anti-spells » 15/06/2019, 15:48

Salve a tutti, volevo proporvi un paio di esercizi che non riesco a finire, il primo:

$H={(x,y)inRR^2 : -1<=x^3+xy+y^3<=1}$ è compatto?

E' banalmente chiuso in quanto anti-immagine di $[-1,1]$ di una funzione continua, ma come faccio a mostrare che non è limitato? Non mi vengono in mente maggiorazioni che possano aiutarmi

Altro esercizio: $K_\alpha = {(x,y) in RR^2 : -1<x^2+\alpha*xy + y^2 <=1 } , \alpha in RR$
, per dimostrare che per $|\alpha|>=2$ non è compatto, il prof dice: sia $t in RR$ una soluzione dell'eq. $t^2 + \alpha*t+1=0$ .
Allora i punti $(x,y) in RR^2 $ tali che $x/y = t$ o ($y/x=t$ ), verificano $x^2+\alpha*xy + y^2 = 0$ e quindi sono in $k_\alpha$ che quindi non è limitato.

Ho più o meno capito (a parte il fatto che non mi sarebbe mai venuto in mente di mostrarlo così) , ma ci sono modi più immediati per mostrarlo?
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Re: Compattezza

Messaggioda caulacau » 15/06/2019, 16:07

I polinomi sono mappe proprie, e \(H = p^\leftarrow[-1,1]\) se $p(x,y) = x^3 + xy+y^3$ è guardata come una funzione polinomiale $\mathbb R^2 \to \mathbb R$.
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Re: Compattezza

Messaggioda anti-spells » 15/06/2019, 16:13

Ok mi sembra abbastanza ovvio, ma questo serve per mostrare che H è chiuso, non per mostrare che non è limitato. O sbaglio?
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Re: Compattezza

Messaggioda caulacau » 15/06/2019, 16:33

anti-spells ha scritto:Ok mi sembra abbastanza ovvio, ma questo serve per mostrare che H è chiuso, non per mostrare che non è limitato. O sbaglio?

No, ho appunto detto che un polinomio è una mappa propria.
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Re: Compattezza

Messaggioda anti-spells » 15/06/2019, 17:53

Mi dispiace ma il 95% di quello che è scritto su quel link non l'ho mai visto ahah, qualche aiuto in più?
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Re: Compattezza

Messaggioda caulacau » 15/06/2019, 18:49

Ho semplicemente detto che un polinomio, guardato come funzione, ha la proprietà di mandare compatti in compatti mediante controimmagine; non lo sapevi, ora lo sai, usalo.
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Re: Compattezza

Messaggioda arnett » 17/06/2019, 13:10

Ma è ragionevole pensare di usare le mappe proprie in un esame di analisi uno?

Ti è almeno noto e ti è possibile utilizzare il fatto che tutte le norme in $\RR^2$ sono equivalenti?
Se sì, prova a lavorare sul termine $xy$ con la solita disuguaglianza $x^2+y^2\ge 2xy$.
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Re: Compattezza

Messaggioda dissonance » 17/06/2019, 13:19

E' falso che i polinomi sono tutte mappe proprie; il polinomio \(p(x, y)=xy\) è tale che \(p^{-1}(\{0\})\) non è compatto. Sono mappe proprie i polinomi di una sola variabile.
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Re: Compattezza

Messaggioda dissonance » 17/06/2019, 13:29

arnett ha scritto:Ti è almeno noto e ti è possibile utilizzare il fatto che tutte le norme in $\RR^2$ sono equivalenti?

Ricordo che il professore di analisi sconsigliava questi ragionamenti troppo di alto livello; più è alto il livello degli strumenti usati, più è facile dimenticarli o introdurre errori. Quando possibile, meglio fare le cose con le mani.

@anti-spells:
Come dicevi, tu sai che il tuo insieme è chiuso; ti resta quindi da stabilire se esso sia limitato, o no. Motivato dai suggerimenti precedenti, poni
\[
p(x, y):=x^3+xy+y^3.\]
Devi dimostrare che esiste una costante \(C>0\) tale che, se \(|p(x, y)|\le 1\), allora \(x^2+y^2\le C\). Oppure che tale costante non esiste, e che invece esiste una successione \((x_n, y_n)\) tale che \(|p(x_n, y_n)|\le 1\) e \(x_n^2+y_n^2\to \infty\).
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Re: Compattezza

Messaggioda dissonance » 18/06/2019, 11:41

Non ci riesci? Amplio il suggerimento. L'insieme è compatto, perché vale la disuguaglianza
\[
x^2+y^2\le C|x^3+xy+y^3|, \]
per una costante \(C>0\). (Questa disuguaglianza mostra immediatamente che l'insieme è contenuto in un disco di raggio \(C\)).

Per dimostrare questa disuguaglianza, considera il rapporto
\[
\frac{x^2+y^2}{x^3+xy+y^3}, \]
e dimostra che è una funzione limitata.
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