Molto sinteticamente e riassuntivamente diciamo che:
il problema è esattamente l'opposto! è dalla funzione caratteristica (caso più generale) che, restringendo il dominio ad $RR$, si trova la $M_X(t)$
La funzione caratteristica $psi_(X)(t): RR rarr CC$ è la Trasformata di Fourier
1 della densità di probabilità $f(x)$ e, al contario della FGM, esiste sempre (l'integrale che la definisce non diverge mai) per qualsiasi variabile casuale.
La funzione generatrice dei momenti $M_X(t): RR rarr RR$ è invece la Trasformata di Laplace di $f(x)$ ed esiste se l'integrale che la definisce è finito in un intorno di $t=0$
Quindi la domanda va rigirata: perché usare la funzione caratteristica "ristretta" ai reali?
Perché è più comoda e, per calcoli elementari come:
i) Calcolare i momenti di una gaussiana o altra distribuzione nota
ii) Dimostrare che la somma di $n$ chi-quadro indipendenti è ancora una chi-quadro
iii) Dimostrare che la Binomiale converge (al limite) ad una Poisson
basta e avanza....anzi per i calcoli elementari cui viene utilizzata è anche meglio: infatti, a differenza della funzione caratteristica, l'esistenza della $M_X(t)$ garantisce l'esistenza di tutti i momenti della variabile casuale.
Le due funzioni godono di proprietà simili....e dico simili, non identiche.
Sono andato un po' a memoria ma ovviamente puoi trovare tutti i dettagli su qualunque testo elementare di Statistica.