buonasera,
mi sono imbattuto in un esercizio che mi ha sollevato un paio di quesiti:
Sia X1,...,Xn v.a. i.i.d. con distribuzione di legge Geometrica(p) con$ p ∈ (0,1)$
dopo aver statistica suff minim completa (appartiene a fam esponenziale) e aver trovato stimatore MLE di p
se non ho sbagliato tutto $ tilde(p)=n/(sum(x)) $
mi rimangono questi punti:
(c) Si discuta consistenza, asintotica normalit`a e asintotica efficienza dib p;
per questo chiedo semplicemente dove poter trovare un testo che li spieghi chiaramente e qualche esercizio base siccome non li ho affrontati personalmente durante il corso.
(d) Si proponga uno stimatore non distorto per p;
qua sorge il problema: perche sia non distorto si necessita $E(tilde(p))=p $
ossia mi devo calcolare $ int_(a)^(b) t*fp(t) dt $ e poi correggere lo stimatore (per il principio di invarianza credo) in modo che esca esattamente uguale al paramentro che cerco di stimare.
le mie perplessita sono:
1) in questo caso in cui ho sommatoria di v.a. i.i.d esponenziali posso scrivere la legge di $fp(t)$ come quella della funzione di distribuzione Gamma(n,theta)? ( mi sono ricondotto a famiglia esponenziale tramite
$e^(ln(f(x)))$ dove f(x) è la distribuzione della geometrica e i dovuti calcoli algebrici)
il fatto che lo stimatore sia inverso della sommatoria moltiplicato per n non va a modificare la funzione della distribuzione?
in tal caso come mai?
2) se non potessi (o non volessi) passare tramite Gamma(n,t) credo debba calcolarmi la funzione di ripartizione tramite la definizione $Fp(t)=P(p<=t)$ e poi derivarla in dt per trovare la densità ma come calcolo la probabilita che l'inverso della media campionaria sia minore uguale di t?
3) la terza strada che ho tentato (anche questa miseramente) è stata di utilizzare la trasformazione di variabili continue:
$ fy(y)=fx(g^-1(y))*abs(d/dy(g^(-1)(y)) $
che credo faccia al caso mio ma non ho assutamente idea di come applicarla.
grazie mille per l'aiuto, a voi che portate un po' di luce nella mia fosca conoscenza di statista