Luca.Lussardi ha scritto:Non so altri, ma io non ho capito nulla...
Ottimo
Vabbè, provo a spiegarmi meglio...
Definiamo:
1) $mathbb(E)^mathbb(Q)[e^(-r\tau_0)\psi(\tau_0,S_(\tau_0))]:= Sup_(\tau)mathbb(E)^mathbb(Q)[e^(-r\tau)\psi(\tau,S_(\tau))]$, dove ${\psi(t,S_t)}_(t\in[0,T])$ è un processo stocastico tale che $\psi:[0,T] xx \mathbb(R)->\mathbb(R)$ è una funzione convessa e lipschitziana e $\tau_0$ è il più piccolo elemento del vettore ${\tau_0,...\tau_n}$ espressione di una serie di istanti temporali.
2) $\Theta:={\theta_0,...,\theta_n}$ un vettore tale per cui $\forall \theta:=(\alpha,\beta) \in \Theta , V_t(\theta):=\alpha_tS_t+\beta_tB_t$, con $\alpha_t,\beta_t \in \mathbb(R)^+$.
Assumiamo poi che sotto certe condizioni $V_t(\theta)$ replica esattamente $\psi$, ovvero $V_t(\theta)-= \psi(t,S_t)$ (c.d. "strategia ottima").
3) ${ ( max{L_(BS)f,\psi-f}=0 ),( f(T,\cdot)=\psi(T,\cdot) ):}$ (con la prima espressione definita in $[0,T[ xx \mathbb(R)$ e la seconda definita in $\mathbb(R)^+$) un problema di massimizzazione con disuguaglianza differenziale che tramite approccio variazionale (ringrazio te Luca e @dissonance per il chiarimento) riscriviamo $ { ( L_(BS)f<=0 ),( f>=\psi ),( (f-\psi)L_(BS)f=0 ),( f(0,\cdot)=\psi(0,\cdot) ):} $.
Sia inoltre $L_(BS)f:=(\partialf)/(\partialt)+(r-q)S(\partialf)/(\partialS)+1/2sigma^2S^2(\partial^2f)/(\partialS^2)-rf$ un operatore differenziale in $f$.
4) $f(t,x):=Sup_(\tau)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(T-t))\psi(\tau,S_(\tau)^(t,x))]$, con $S^(t,x)$ soluzione del moto browniano geometrico che descrive la dinamica di $S_t$ variabile dipendente per $\psi$.
5) $\mathcal(A):=\Theta$ un certo insieme, e siano $\mathcal(A)_\psi^+:={\theta\in\mathcal(A) : V_t(\theta)>=\psi(t,S),\forallt\in[0,T]}$ e $\mathcal(A)_\psi^(-):={\theta\in\mathcal(A) , \exists\tau : \psi(\tau,S_\tau)>=V_\tau(\theta)}$ due sottoinsiemi di $\mathcal(A)$ tali che si dimostra $Sup_(\theta\in \mathcal(A)_(\psi)^(-))V_(\tau)(\theta)<=f<=Inf_(\theta\in \mathcal(A)_(\psi)^(+))V_(t)(\theta)$.
Inoltre si dimostra che se $\theta \in \mathcal(A)_\psi^+ nn \mathcal(A)_\psi^-$ valgono le seguenti condizioni:
6) $V_0(\theta)=\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r\tau_0)\psi(\tau_0,S_(\tau_0)]=Sup_(\tau)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r\tau)\psi(\tau,S_(\tau)]$;
7) $\tau_0=Inf_(t\in[0,T]){f(t,S)=\psi(t,S)}$.
A questo punto ho chiamato per comodità $a=f(t,S)$, $b=\psi(t,S)$, $c=\theta$, $f(c)=V_t(\theta)$, $L^(+)=\mathcal(A)_\psi^+$ e $L^(-)=\mathcal(A)_\psi^-$.
Sapendo tutto questo, c'è un modo per derivare la relazione $ tilde(S) (t):=Inf_(S>0){f(t,S)>\psi(t,S)}$?