Esercizio teorema di Stokes

[Elia1999]

Salve, volevo sapere se ho svolto in modo esatto il seguente esercizio :

Verificare il teorema di Stokes per il campo vettoriale \(\displaystyle F(x,y,z)=(x^2-2y, zy, y^2-x) \) e la superficie \(\displaystyle \Sigma =\{ (x,y,z)\in R^3 : z=\sqrt {x^2+y^2}, x^2+y^2\leq 4 \} \).

Sono passato alle coordinate cilindriche, per cui :

\(\displaystyle \begin {cases} x=\rho cos(\Theta ) \\ y=\rho sen(\Theta ) \\ z=z \end {cases} \)

siccome \(\displaystyle z=\sqrt {x^2+y^2} \Longrightarrow z=\rho \) e \(\displaystyle x^2+y^2\leq 4 \Longrightarrow 0\leq \rho \leq 2 \). Quindi :

\(\displaystyle \begin {cases} x=\rho cos(\Theta ) \\ y=\rho sen(\Theta ) \\ z=\rho \end {cases} \)

\(\displaystyle \begin {cases} 0\leq \Theta \leq 2\pi \\ 0\leq \rho \leq 2 \end {cases} \)

Il rotore di F è uguale a :

\(\displaystyle rotF=(y,1,2) \)

Calcolo \(\displaystyle r_{\Theta } \wedge r_{\rho }=(\rho cos(\Theta ), \rho sen(\Theta ), -\rho ) \)

Infine applico il teorema di Stokes :

\(\displaystyle \iint_{\Sigma} rotF*n =\int_0^2 \int_0^{2\pi } (\rho sen(\Theta ), 1, 2) \space (\rho cos(\Theta ), \rho sen(\Theta ), -\rho ) d\Theta d\rho =\int_0^2 \int_0^{2\pi } \rho sen(\Theta )cos(\Theta )+\rho sen(\Theta )-2\rho \space d\Theta d\rho =\int_0^2 \rho [-\frac {1} {2} cos^2 (\Theta )]_0^{2\pi }+\rho [-cos(\Theta )]_0^{2\pi }-\rho [\Theta ]_0^{2\pi } d\rho =-\int_0^2 4\pi \rho \space d\rho = -8\pi \)

Ho fatto bene ?

[Quinzio]

Si, insomma, si e no.
Il procedimento e' quello e il risultato e' anche giusto.
Il problema e' che scrivi l'integrale sulla superficie $\Sigma$,
ma poi l'integrale e' svolto sulla proiezione di $\Sigma$ sul piano xy.
Riesci a vedere la differenza e a capire poi perche' il risultato esce giusto lo stesso ?

[Elia1999]

Non ho capito quello che dici, comunque volevo chiederti anche un'altra cosa. Se invece di fare questo procedimento impongo prima \(\displaystyle \rho =1 \) e svolgo :

\(\displaystyle \int_0^{2\pi} (sen(\Theta ),1, 2) (cos(\Theta ),sen(\Theta ), 1) d\Theta \)

e poi impongo \(\displaystyle \rho =2 \) e svolgo :

\(\displaystyle \int_0^{2\pi} (2sen(\Theta ),1, 2) (2cos(\Theta ),2sen(\Theta ), 2) d\Theta \)

ed infine sommo i risultati dei due integrali dovrebbe riuscire uguale \(\displaystyle -8\pi \) ?

[Quinzio]

Non capisco perche' devi imporre $\rho$

[Elia1999]

\(\displaystyle 0\leq \rho \leq 2 \) per cui avevo pensato prima di fare con \(\displaystyle \rho=1 \) e poi con \(\displaystyle \rho=2 \)