Sia ${N_t}_(t\in[0,T])$ un processo tale che $N_t=k,\forall t$. Supponendo di trovarci nel caso discreto e che tale processo si distribuisca come una Poisson di parametro $\lambda_t:=\int_(0)^(t)\lambda_sds<\infty$, voglio dimostrare che non gode di martingalità. Ora, siccome una martingala è tale se $ mathbb(E)[X]=0 $, dovrei dimostrare che:
$mathbb(E)[N_t]=sum_(i=0)^(\infty)k_iP(N_(t_i)=k_i)= sum_(i=0)^(\infty)k_i(e^(\lambda_t)(\lambda_t)^k)/(k!)!=0$
Ora vi chiedo: perchè anziché porre $\lambda_t$ il testo pone $\lambda \cdot t$?
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Stiamo supponendo che $\lambda_t$ sia deterministico.