Martingalità di $N_t$

Messaggioda mobley » 25/06/2019, 11:16

Sia ${N_t}_(t\in[0,T])$ un processo tale che $N_t=k,\forall t$. Supponendo di trovarci nel caso discreto e che tale processo si distribuisca come una Poisson di parametro $\lambda_t:=\int_(0)^(t)\lambda_sds<\infty$, voglio dimostrare che non gode di martingalità. Ora, siccome una martingala è tale se $ mathbb(E)[X]=0 $, dovrei dimostrare che:
$mathbb(E)[N_t]=sum_(i=0)^(\infty)k_iP(N_(t_i)=k_i)= sum_(i=0)^(\infty)k_i(e^(\lambda_t)(\lambda_t)^k)/(k!)!=0$

Ora vi chiedo: perchè anziché porre $\lambda_t$ il testo pone $\lambda \cdot t$?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Stiamo supponendo che $\lambda_t$ sia deterministico.
mobley
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Re: Martingalità di $N_t$

Messaggioda mobley » 25/06/2019, 11:42

Possibile che il fatto che $\lambda$ sia deterministica mi permette di passare da $\lambda_t$ a $\lambdat$?
Cioè… il fatto che una variabile sia deterministica non dovrebbe permettermi soltanto dire che $\lambda_t$, da stocastico, si trasforma in un'applicazione $t->\lambda(t)$?
mobley
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Re: Martingalità di $N_t$

Messaggioda mobley » 25/06/2019, 11:56

Come sempre avviene in questa sezione del forum, finisco per rispondermi da solo. Si, ed aggiungo banalmente: tale applicazione rende $\lambda$ costante, quindi si può considerare $\lambda(t)=\lambda \cdot t$.
Grazie mille a me stesso
mobley
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