Esercizio che sarà pur molto semplice, ma a me serve per familiarizzare col linguaggio.
L'esercizio in questione è qui a pagina 26 esercizio 1.2.23.a. Ecco il gruppo \(G\) visto come una categoria ad un solo oggetto
Essendo i morfismi di \(G\) isomorfismi allora pure i morfismi di \(G^\text{op}\) sono isomorfismi. In particolare \(f^\text{op}\) è l'inversa di \(f\), e quindi \(ff^\text{op}=1\) e \(f^\text{op}f=1\), dove con \(1\) indico il morfismo identità su \(\bullet\). In questo caso particolare le due categorie hanno gli stessi morfismi.
Ora per dire che \(G \cong G^\text{op}\), devo far vedere che un funtore che sia isomorfismo in \(\mathbf{CAT}\). Eccolo:\[()^\text{op} \colon G \mapsto G^\text{op}\,,\]che manda \(\bullet\) in sé e che manda ogni morfismo \(f\) in \(f^\text{op}\). Infatti, se indico con \(\circ\) la composizione di morfismi in \(G\) e con \(\ast\) la composizione di quelli in \(G^\text{op}\), ho che per ogni morfismo \(x\) e \(y\) \[(x \circ y)^\text{op}=y^\text{op} \circ x^\text{op}=x^\text{op} \ast y^\text{op}\,.\]Banalmente \(1^\text{op}=1\).
Mostro che questo funtore è un isomorfismo. Basta prendere \(H \colon G^\text{op} \mapsto G\) che manda \(\bullet\) in \(\bullet\) e un morfismo \(f\) in \(f^\text{op}\): \(()^\text{op}H\) e \(H()^\text{op}\) sono funtori identità.
Può andare?