Sia \(\displaystyle G\) un gruppo topologico finito, e supponiamo che la sua topologia gruppale non sia banale; per ipotesi
\[
m:(g,h)\in G\times G\to gh\in G
\]
è una funzione continua rispetto alle topologie prodotto e gruppale; in particolare, fissato \(\displaystyle g\in G,\,\alpha_g=m_{|G\times\{g\}}\) è una funzione continua, perché restrizione di una funzione continua.
Per semplicità siano \(\displaystyle G=G_0 \) ed \(\displaystyle U_0\) un intorno non banale di \(\displaystyle e_G\), mediante le \(\displaystyle\alpha_g\) puoi costruire un intorno non banale per ogni punto di \(\displaystyle G_0\).
Definito \(\displaystyle G_1=U_0\cap U_0^{-1}\), dove \(\displaystyle U_0^{-1}=\{g\in G\mid g^{-1}\in U_0\}\); ottieni che \(\displaystyle G_1\) è un sottogruppo proprio ed aperto di \(\displaystyle G_0\) con topologia non banale e non discreta.
Ripetendo questo ragionamento per \(\displaystyle n\) volte, otterrai che \(\displaystyle G_n=\{e_g\}\); quindi \(\displaystyle e_G\) è un punto aperto di \(\displaystyle G\), e utilizzando le \(\displaystyle\alpha_g\) ottieni che ogni punto di \(\displaystyle G\) è aperto.
Ti lascio tutti dettagli per esercizio.
P.S.: spero che a causa della fretta non abbia sbagliato qualche dettaglio...