Problema nel calcolo di un valore atteso

Messaggioda mariokarter » 12/07/2019, 16:30

Ciao ragazzi,
ho un problemino nel calcolo di un valore atteso…
Il testo recita:
"Siano \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) due variabili aleatorie tali che \(\displaystyle Y \thicksim N(-1,1) \) e \(\displaystyle X_{|Y=y} \thicksim N(y+1,1) \): calcolare la \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) \)."

Dopo essermi ricavato la \(\displaystyle f_{X,Y}(x,y) \) che risulta essere \(\displaystyle \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-2x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} \)

Provo a calcolare il valore atteso ed effettuando una semplice somma tra gli esponenti delle \(\displaystyle e \) ottengo che \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) = \int\int \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-4x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} dx dy\).

Qui mi accorgo che corrisponde a un vettore aleatorio \(\displaystyle (X,Y) \) che si distribuisce come una \(\displaystyle N\left(\left[\begin{matrix} 0 \\ -1 \end{matrix}\right] , \left[\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right] \right) \)

Ma la matrice di covarianza così scritta ha determinante negativo… e qui mi sono bloccato.

Confido in un vostro aiuto :-)

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PS. Forse ho anche sbagliato la matrice della covarianza.. dovrebbe essere \(\displaystyle \left[\begin{matrix} -1 & -1 \\ -1 & -\frac{1}{2} \end{matrix}\right] \)... ancora peggio perché la varianza non può essere negativa, proprio sbagliato scriverla una matrice del genere...
Quindi la mia domanda è: devo andare avanti a provare a calcolare l'integrale senza cercare delle densità note… o il fatto che una possibile densità nota che però non è corretta mi dice già qualcosa sul possibile risultato?
mariokarter
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Re: Problema nel calcolo di un valore atteso

Messaggioda tommik » 12/07/2019, 23:34

mariokarter ha scritto:Provo a calcolare il valore atteso ed effettuando una semplice somma tra gli esponenti delle \(\displaystyle e \) ottengo che \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) = \int\int \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-4x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} dx dy\).


arrivato a questo punto ti basta completare il quadrato all'esponente aggiungendo e togliendo $2(y+1)^2$ al numeratore e il tutto si riduce a risolvere


$int_(-oo)^(+oo)1/sqrt(2pi)e^(-1/2(x-2(y+1))^2)dx xxint_(-oo)^(+oo)1/sqrt(2pi) e^((y+1)^2) dy=
1xxint_(-oo)^(+oo)1/sqrt(2pi) e^((y+1)^2) dy=oo$

dato che l'integrale diverge.....non vedo altra via.

Non hai il risultato?
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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Re: Problema nel calcolo di un valore atteso

Messaggioda mariokarter » 14/07/2019, 12:02

Scusa se ti rispondo solo ora, ma non ho avuto tempo.
No, non ho il risultato… anche se in effetti come hai proseguito mi convince.

Grazie mille. :-)
mariokarter
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