Eq.differenziali a variabili separabili

Messaggioda jimbolino » 13/07/2019, 19:29

Ciao, avrei un dubbio riguardo l'argomento del titolo a cui sono sopraggiunto svolgendo alcuni semplici esercizi

So che una rale equazione differenziale èdel tipo
$y'(t)=a(t)*b(y(t))$

Mi trovavo di fronte a questo esercizio che ho ridotto in forma normale dopo alcuni calcoli

$y'(t)=2mksin(t)$

L'ho risolta considerando $2mksint=a(t)$

Tuttavia ecco il dubbio:

se ipotizzassi: $y(t)=t$ a questo punto posso anche considerare $sint=b(y)$, dunque dovrei separarle come

$(y'(t))/sint=2mk$

che ovviamente darà un risultato diverso portandolo a risoluzione. Eppure i risultati che escono da tale ipotesi non sono contenuti nella soluzione operata in prima battuta considerando sin(t)=a(t). Tuttavia anche $y(t)=t$ mi pare del tutto lecita come ipotesi e quindi essendo una hp più stringente tali risultati dovrebbero essere contenuti nell'altro metodo risolutivo, evidentemente sbaglio qualcosa..
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Re: Eq.differenziali a variabili separabili

Messaggioda gugo82 » 14/07/2019, 01:47

L’ipotesi, semplicemente, non ha alcun senso.
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Re: Eq.differenziali a variabili separabili

Messaggioda jimbolino » 14/07/2019, 07:36

Devo dire che è frustrante essere stupidi come me, vedo che le cose vi vengono così naturali mentre io devo ragionarci ore arrivando a considerazioni errate...

Dici che non avrebbe senso perché in tal caso $y'=1$?

Tuttavia anche inserendo l'ipotesi mi pare che avrei:

$1/sint=2mk$ e integrando $\int(dt)/sint=\int2mkdt$

Grazie per il tuo costante aiuto :)
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Re: Eq.differenziali a variabili separabili

Messaggioda gugo82 » 14/07/2019, 13:23

Il problema è che non ragioni in maniera formale, rifacendoti alle definizioni, ma preferisci “inventarti” ipotesi che non stanno né in cielo né in terra.
Questo capita quando non si conoscono bene le definizioni o non si riconosce la loro importanza.

Cos’è una EDO in forma normale?
Assegnati un intervallo $I xx J sube RR^2$ ed una funzione $f:I xx J -> RR$ continua, si chiama EDO in forma normale il problema di determinare tutte le funzioni $y: ]a,b[ -> J$ tali che:

  • $]a,b[ sube I$ è non vuoto;

  • $y$ è derivabile in $]a,b[$;

  • $y’(t) = f(t,y(t))$ per ogni $t in ]a,b[$.[/list]

Quindi il secondo membro di una EDO in forma normale è una funzione di due variabili $f(t,y)$ valutata sui punti $(t,y(t))$ del grafico di una funzione $y$.

La EDO, poi, si chiama a variabili separabili se la funzione $f$ è il prodotto di due funzioni, ognuna dipendente da una sola delle variabili da cui dipende $f$, i.e. $f(t,y) = a(t)*b(y)$ per ogni $(t,y) in I xx J$ con $a:I -> RR$ e $b:J -> RR$.

Nel tuo caso, $f(t,y) = C sin t = a(t)$ perché $f$ non dipende da $y$.
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Re: Eq.differenziali a variabili separabili

Messaggioda jimbolino » 14/07/2019, 13:49

Anche questa volta ci hai azzeccato - mi sembri un veggente :P -, il punto è che le studio per bene quasi con ossessione (le definizioni), le capisco provo a rigirarle con carta e penna.. e funzionano. Però dopo un po' di tempo mi diventano come evanescenti ed è come se mi sfuggissero dei punti. E' un bel problema per me (quasi una lotta con me stesso) a cui non ho ancora capito come porre rimedio sinceramente.

Tornando in topic:
Se $b$ dipende da $y$ e a $y$ impongo il valore $t$, allora $b(y)$ dipenderàsolo da $y$ (come richiesto dalla definizione). Mi sembra che proprio imporre $y=t$ faccia discendere che $f$ dipende da $y$. Quindi mi sfugge proprio qualcosa, diamine!
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Re: Eq.differenziali a variabili separabili

Messaggioda gugo82 » 14/07/2019, 14:04

Non ti sfugge nulla.
Solo che non capisci quello che stai facendo... Pensaci bene.
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Re: Eq.differenziali a variabili separabili

Messaggioda jimbolino » 14/07/2019, 15:16

Ok allora ci rifletto su ancora un po' e metto assieme i pezzi che mi hai riportato.

Grazie ancora e buon (fine)finesettimana :)

[Edit post riflessione]
Forse il punto stava nel fatto che io intendessi
$f(t,y)=b(y)$ come se $a(t)$ non ci fosse, in realtà quello che succede nella mia ipotesi di considerare solo la funzione $b$ è che sarebbe $f(t,y)=a(t)b(y)$ dove a(t) c'è e vale $a(t)=1$. Ergo avrei che $f(t,y)=1*b(y)$ ma poiché y=t => (sarebbe come scrivere) $f(t,y)=1*b(t)$. Ma così facendo avrei in realtà due funzioni (prima mascherate) che dipendono da t, ossia: $f(t,y)=a(t)b(t)$ che va contro la definizione di variabili separabili.
Potrebbe essere?
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Re: Eq.differenziali a variabili separabili

Messaggioda gugo82 » 14/07/2019, 15:46

No.
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Re: Eq.differenziali a variabili separabili

Messaggioda jimbolino » 14/07/2019, 15:57

Argh granchio, scusa.. :oops:

Penso tutto si giochi qui
gugo82 ha scritto:Nel tuo caso, $f(t,y) = C sin t = a(t)$ perché $f$ non dipende da $y$.


Il fatto che a me sembra sempre che nell'ipotesi posta di y=t, allora b(y)=b(t) sia proprio Csin(t) e così sono punto a capo
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Re: Eq.differenziali a variabili separabili

Messaggioda gugo82 » 14/07/2019, 16:39

Ma perché continui ad "inventare" ipotesi?

Hai sotto gli occhi una funzione che, semplicemente, non dipende da $y$.
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