carbo ha scritto:ex2
Sia $w in RR^3$ e sia $f : RR^3 -> RR^3$ definita da $f(v) = v ^^ w$ per ogni $v in RR^3$.
a) Dimostrare che $f$ è lineare.
b) Se $w = (1, 2, −1)$, trovare la dimensione e una base di $text(Ker)(f) $ e di $text(Im)(f)$ .
c) Trovare il polinomio caratteristico dell’endomorfismo $f$.
d) Verificare che l’endomorfismo $f$ è semplice.
Per quanto riguarda il quesito a), la linearità segue dalle proprietà del prodotto vettoriale.
Per b), visto che è cosa nota che (indipendentemente da chi sia $w != mathbf(0)$) $v ^^ w = mathbf(0)$ se e solo se $v$ è parallelo a $w$, è evidente che $text(Ker)(f) = text(span)\{w\} = \{ alpha w,\ alpha in RR\}$, che $\{w\}$ è una base di $text(Ker)(f)$ e perciò $dim text(Ker)(f) = 1$. In particolare, nel caso $w=(1,2,-1)$ hai $text(Ker)(f) = \{ (alpha, 2alpha, - alpha), alpha in RR\}$.
Analogamente, visto che è cosa nota che (indipendentemente da chi sia $w != mathbf(0)$) si ha $v ^^ w bot w$ e dalla relazione $dim text(Im)(f) + dim text(Ker)(f) = dim RR^3 = 3$, puoi intuire che $text(Im)(f) = (text(Ker)(f))^bot$ (cioè che l’immagine di $f$ è il complemento ortogonale del nucleo). Per verificarlo, andiamo a scrivere esplicitamente la legge di $f$: per noti fatti sul calcolo del prodotto vettoriale abbiamo:
\[
\begin{split}
f(x,y,z) &= \left( \begin{vmatrix} y & z \\ 2 & -1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} z & x \\ -1 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \right) \\ &= (- y - 2z , x + z, 2x - y ) \\ &= \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}}_{=: F} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
\end{split}
\]
dunque, visto che $ det F = 0$ e che il minore $F_{12,12} = |(0, -1),(1,0)| != 0$, l’immagine di $f$ coincide con $text(span)\{ (0, 1, 2), (-1, 0, -1)\}$, $\{ (0, 1, 2), (-1, 0, -1)\}$ è una base di $text(Im)(f)$ e $dim text(Im)(f) = 2$; inoltre, dato che $ (0, 1, 2) * (1, 2, -1) = 0 = (-1, 0, -1) * (1, 2, -1)$, i due vettori di base sono ortogonali a $w$ e perciò $text(Im)(f)$ coincide col complemento ortogonale di $text(Ker)(f) = text(span)\{w\}$.
Per c) basta fare i conti, calcolando $det (F - lambda I)$.
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In particolare trovi:
\[
\begin{split}
\det (F - \lambda I) &= \begin{vmatrix} - \lambda & -1 & -2 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 2 & -1 & -\lambda \end{vmatrix} \\
&= -\lambda^3 - 6 \lambda \\
&= -\lambda (\lambda^2 + 6)
\end{split}
\]
e a ciò segue che $f$ ha solo l’autovalore nullo in campo reale (e gli autovalori complessi coniugati $+- sqrt(6) i$, oltre a $0$, in campo complesso).
Per d) basta calcolarsi gli autovettori e vedere se tre di essi formano una base di $RR^3$.
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Ma ovviamente, non avendo tutti gli autovalori reali, il problema non si pone.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)