obnoxious ha scritto:Prendi la funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \[ x \mapsto \begin{cases} 1/x^2 & \text{se } x \in \mathbb{N} \setminus \{0 \} \\ 0 & \text{altrimenti.} \end{cases} \]E' chiaro che \[ \sup_{A \in \mathcal{P}} \sum_A |f(x)| < \infty; \]tuttavia \( x \in \mathcal{A}_n \) se e solo se \( x^2 < n \) e sse \( x < \sqrt{n} \) e quindi \( a_n=\# (\mathcal{A}_n) = \lfloor\sqrt{n} \rfloor \) che è illimitata.
3m0o ha scritto:Dunque forzatamente \( M:= \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n < + \infty \) altrimenti avrei
\[ +\infty= \sum\limits_{k= n}^{\infty} \frac{1}{k} \leq \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} \frac{1}{n} \leq \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} f(x) < + \infty \]
Che è un assurdo
gabriella127 ha scritto:In effetti avevo letto male la sommatoria.
Resta che l'esercizio è strano per un esame di analisi 1.
anto_zoolander ha scritto:Penso che l’errore possa stare nel fatto che non hai considerato la stima $(a_n)/nleq lambda$
gabriella127 ha scritto:@ 3m0o Trovo questo esercizio un po' strano perché mi sembra un esercizio poco standard in un primo esame di analisi.
Quando a suo tempo ho fatto il corso di analisi 1 (a matematica) agli studenti (ed erano bravi) mi sa che gli sarebbe venuto un colpo a vedere questo esercizio al primo esame.
Anche perché chiedere se è vero o falso, invece di dire 'dimostrate' e basta complica, può far perdere un sacco di tempo nel dubbio.
Pure voi ci avete messo un po' a risolverlo. All'esame sarebbe stato peggio, uno lì caso mai non ha la calma.
Però dipende da cosa si è fatto al corso, se al corso hanno visto cose simili è diverso.
3m0o ha scritto:
Su 19 problemi ordinati in modo crescente di difficoltà 16 erano "se vero dimostra, se falso contro-esempio".
3m0o ha scritto:$\forall n \in \mathbb{N} $ risulta
\[ \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} \frac{1}{n} \leq \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} f(x) \]
Dunque forzatamente \( M:= \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} a_n < + \infty \) altrimenti avrei
\[ +\infty= \sum\limits_{k= n}^{\infty} \frac{1}{k} \leq \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} \frac{1}{n} \leq \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \sum\limits_{x \in \mathcal{A}_n} f(x) < + \infty \]
anto_zoolander ha scritto:Spero che sia strutturato in maniera tale da garantirti un buon voto anche senza rispondere a tutti e 19 i quesiti
gabriella127 ha scritto:Vabbe', però quindi la modalità di esercizio 'se è vero dimostra, se falso controesempio' non era nuova per voi e questo già può prevenire lo svenimento.
Però io in un esame di analisi di primo anno non ho mai visto (a matematica alla Sapienza) un esercizio con questa modalità.
anto_zoolander ha scritto:Ho riletto la tua dimostrazione un paio di volte e sono giunto a questa considerazione; cito prima il pezzo interessato. [...]
obnoxious ha scritto:Ok, penso che un modo per vederlo sia usando la disuguaglianza di Chebyshev con la counting measure. La counting measure è sostanzialmente la cardinalità dell'insieme.
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