dissonance ha scritto:obnoxious ha scritto:Ok, penso che un modo per vederlo sia usando la disuguaglianza di Chebyshev con la counting measure. La counting measure è sostanzialmente la cardinalità dell'insieme.
In realtà questa è una cosa ovvia, solo che detta così con le misure sembra spaventosa. Infatti, per definizione, \(x\in A_n\) se e solo se \(f(x)>\frac1n\). Quindi,
\[
\sum_{x\in A_n} f(x)>\sum_{x\in A_n} \frac{1}{n}=\frac{1}{n} \#A_n.\]
Come già notato da obnoxius, questa semplice osservazione porta subito alla soluzione dell'esercizio: difatti, per quanto appena detto, \(a_n=\#A_n\) verifica \(a_n\le Cn\) per una costante \(C>0\) e quindi
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^2\log n} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\log n}<\infty.\]
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