j18eos ha scritto:Attenzione: normalmente per varietà si intende uno schema ridotto \( \displaystyle+ \) "altro".
Non conosco la definizione di schema, il corso che ho seguito è un corso di algebra, non di geometria algebrica.
Abbiamo solo toccato alcuni risultati basilari legati alla geometria algebrica (credo).
Cioè partendo da \(A=K[x_1,...,x_n]\) e \(S \subset A\) sottoinsieme abbiamo definito $mathbb{V}(S)={\alpha \in K^n | f(\alpha)=0 \ \ \forall f \in S }$
Poi abbiamo visto che $mathbb{V}(S)=mathbb{V}((S))$ e che quindi potevamo costruire le nostre varietà a partire da ideali.
Dunque ci siamo chiesti se fosse possibile invece partendo da una varietà associarvi un ideale.
Allora abbiamo definito $mathbb{I}(V)={f \in A | f(\alpha)=0 \ \ \forall \alpha \in V}$.
Abbiamo lavorato un po' con queste definizioni, deducendo varie proprietà che non sto a elencare.
Poi abbiamo enunciato e dimostrato il Nullstellensatz nelle due forme, la forma forte è in effetti quella che richiami qui:
j18eos ha scritto:limitandoci alle varietà affini, l'ideale \( \displaystyle I \) associato a una varietà \( \displaystyle V \) sarà privo di elementi nilpotenti, per (memoria mia non mi tradire) \( \displaystyle\sqrt{I}=I \).
Cioè, con le mie notazioni, stai dicendo $mathbb{I}(mathbb{V}(I))=sqrt(I)$ (cosa che vale per $K$ alg. chiuso).
Dunque con le definizioni di sopra, vorrei risolvere il seguente esercizio:
jinsang ha scritto:Sia $ K $ campo algebricamente chiuso.
$ A=k[x_1,...,x_n] $ anello.
$ I\subsetA $ ideale.
Supponiamo che la varietà associata $ \mathbb{V}(I) $ sia finita.
Voglio dimostrare che allora \( A/I \) come anello è isomorfo a una somma diretta finita di campi.
Ci tengo a precisare: nell'esercizio sto considerando \( A/I \) e NON \( A/\mathbb{I}(\mathbb{V}(I))=A/\sqrt{I} \), come già ho detto nel mio primo messaggio di risposta a caulacau.
jinsang ha scritto:Ciao caulacau, intanto grazie per la risposta.
caulacau ha scritto:"Finita" significa "fatta da un numero finito di punti"?
Sì.
Però non mi torna quanto dici dopo.
Cioè il tuo discorso mi tornerebbe se, partendo da $ V=P_1\uu...\uuP_s $ (i $ P_i $ sono punti), stessi studiando l'anello \( A/\mathbb{I}(V) \).
Allora \( \mathbb{I}(V)=\mathbb{I}(\bigcup P_i)=\bigcap \mathbb{I}(P_i) \) dove ogni \( \mathbb{I}(P_i) \) è massimale.
Quindi in questo caso \( A/\mathbb{I}(V)=A/\bigcap \mathbb{I}(P_i) \) e per t.c.r. è quindi isomorfo a \( \bigoplus A/\mathbb{I}(P_i) \) che per come sono fatti questi massimali sarà proprio isomorfo a $ K^s $.
Tuttavia la mia situazione è diversa.
Io parto da $ I\subsetA $ ideale, da cui costruisco $ mathbb{V}(I) $ che suppongo finita, e voglio determinare la struttura di anello di \( A/I \) (non di \( A/\mathbb{I}(\mathbb{V}(I))=A/\sqrt{I} \) che è il problema sopra).
Faccio un esempio per chiarire il mio problema:
$ A=\mathbb{C}[x,y] $
$ I=(x^2,y) $
Ottengo che $ mathbb{V}(I)={(0,0)} $, ma $ I $ non è massimale né scrivibile come intersezione finita di massimali, quindi non vale il ragionamento di sopra.
Si vede abbastanza facilmente che \( A/I \simeq \mathbb{C}^2 \) come C-spazio vettoriale
(Ad esempio con base \( {\overline{1},\overline{x}} \))
Ma che struttura ha questo quoziente come anello?
E infine ho concluso che, in generale, non è vero che \(A/I\) è somma diretta di campi.
Scusate la mia ignoranza, io spero che questo esercizio si possa risolvere con strumenti che conosco, e spero di non aver detto un sacco di stupidaggini.
Vi ringrazio per l'aiuto.