Un morfismo di fibrazioni discrete tra \(G : {\cal E}\to {\cal B}\) e \(G' : {\cal E}'\to {\cal B}\) è un funtore \(H : {\cal E}\to {\cal E}'\) tale che $G'\circ H =G$.
Mostrare che questo definisce una categoria \(\text{Fib}({\cal B})\) delle fibrazioni discrete su \(\mathcal B\).
Mostrare che il funtore \(\text{src} : {\cal B}/B\to{\cal B}\), che manda una freccia $f : X\to B$ nel suo dominio $X$, è una fibrazione discreta. (definizione di \({\cal B}/B\))
Mostrare che la categoria \(\text{Fib}({\cal B})\) così definita è equivalente alla categoria dei funtori \(F : {\cal B}^\text{op}\to Set\), ovvero che:
- esiste un funtore \(\int : [{\cal B}^\text{op}, Set]\to \text{Fib}({\cal B})\)
- esiste un funtore \(\chi : \text{Fib}({\cal B})\to [{\cal B}^\text{op}, Set]\)
- esistono degli isomorfismi \(\int\circ\chi\cong \text{id}_{\text{Fib}({\cal B})}\) e \(\chi\circ\int \cong \text{id}_{[{\cal B}^\text{op}, Set]}\)