Successioni in spazi topologici

Messaggioda mich724 » 14/07/2019, 22:13

Premetto che la definizione di successione convergente ad un p.to dello spazio mi è chiara in $RR$ ,diverso è nel piano in cui fatico un po’ a capire in quali quadranti c’è convergenza e da quale p.to avrò aperti che contengono i suoi termini. Scrivo l’esercizio:
Munendosi dell’insieme $RR^2$ della topologia $A = { Ø, RR^2 , A_a }_(a>0) $ dove $A_a = ] - a, 0 [ xx ] - ∞, 0[ ∪ ]0,a[ xx ]0, +∞[ $ si determinino gli eventuali p.ti di convergenza della successione ${ x_n = (4 - 1/n, 1)}_(n∈ NN) $ . Soluzione: converge in $RR^2$ \ $A_4$ .

È giusto dire che tutti i termini sono tra (3,1) e (4,1)? Come arrivo ad osservare che converge al III e IV quadrante compresi gli assi e i punti $ (x,y)| x>= -4
vv x<= 4 $ ??
mich724
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Re: Successioni in spazi topologici

Messaggioda arnett » 15/07/2019, 09:57

La definizione di successione convergente è sempre la stessa: data una successione $\{x_n}_{n\in\NN}\subset X$ si dice che converge a $x\in X$ se per ogni intorno di $x$, $U_x$, definitivamente $\{x_n}_{n\in\NN}\subset U_x$, o più esplicitamente esiste $n_0$ tale che se $n>n_0$ si ha $\{x_n}_{n>n_0}\subset U_x$.
Ora prova con la tua successione: come sono fatti gli intorni dei punti del secondo e del quarto quadrante? E' vero che la successione appartiene definitivamente a tali intorni?
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OT puntato

Messaggioda dissonance » 17/07/2019, 12:07

Scrivere "p.to" per abbreviare "punto" mi sembra una cattiva idea. Per risparmiare UN solo carattere, praticamente niente, si compromette la leggibilità.
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