Qual'è la cardinalità minimale in modo tale che comunque scelto un sottoinsieme di \( \mathbb{N} \), di tale cardinalità, contenga sicuramente almeno 5 numeri che sommati danno un multiplo di 5.
… mmm … non la vedo così facile, la casistica è decisamente GRANDE Anch'io son partito dai resti e da quelli si stabilisce velocemente un "upper bound" di $20$ dato che non possono esserci più di quattro occorrenze per ogni resto e un "lower bound" di $8$ dato che con quattro $0$ e quattro $1$ (come resti intendo) non puoi ottenere un multiplo di cinque. Però, poi, un modo "semplice" di dimostrare che quella è la soluzione non l'ho ancora trovato (anche se facendo diversi conti non ho trovato un controesempio).
proviamo così Notiamo che la massima variabilità ce l abbiamo con coppie di resti uguali e un singoletto. Quel caso soddisfa la richiesta di 5 numeri somma 5. Sempre quale che sia il singoletto. Ok? Passiamo alle triplette? Anche qui tre triplette Cmq prese soddisfano il caso. 2 triplette e altri liberi? Avanzano 3 posti e 3 numeri. O tutti diversi e si continua a verificare il caso. O mettendo una coppia ne devi escludere 1. Anche qui però quale escludi per evitare il caso? Le quaterne si verificano più velocemente.
Infatti son partito dalle quaterne La tua "schematizzazione" è più efficiente della mia però mi sono accorto che, comunque, rimane sempre un po' di lavoro da fare, infatti mi sono stufato prima di arrivare in fondo