\[
\tag {1}\label{eqn:prima} \left(\forall x\ldotp x\in S\implies\mathscr{P}x\right)\land\left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{Q}y\right)
\] sia logicamente equivalente a
\[
\tag {2}\label{eqn:seconda} \forall x\ldotp x\in S\implies\left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{P}x\land\mathscr{Q}y\right)
\]
Se \( x\in S \) è vera, allora, che preso \( y\in T \) valga il prodotto dei due predicati, è altrettanto vera; poi, quanto si assuma la \( \ref{eqn:seconda} \), le \( \left(\forall x\ldotp x\in S\implies\mathscr{P}x\right) \) e \( \left(\forall y\ldotp y\in T\implies\mathscr{Q}y\right) \) valgono ancora? Non lo so. Siano \( x\in S \) e \( y\in T \); allora vale il prodotto dei due predicati; ergo \( \ref{eqn:prima} \)? Così però ho dimostrato che la
\[
\tag{3}\label{eqn:terza} \forall x\ldotp\forall y\ldotp\left(x\in S\land y\in T\right)\implies\mathscr{P}x\land\mathscr{Q}y
\] è equivalente a \( \ref{eqn:seconda} \) (come l'analogo per le funzioni), e non che \( \ref{eqn:prima}\iff\ref{eqn:seconda} \).
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La cosa mi serve per una dimostrazione di algebra lineare. In pratica non ho capito come convenga appellarsi al principio di induzione in un certo caso. Ma mi interessa anche di suo.