Ciao a tutti, sto riscontrando dei problemi riguardo allo svolgimento di un punto ricorrente nelle tracce d'esame. In questo caso è il punto c) del problema. Posso sapere se ho impostato il punto correttamente, se ho commesso errori o se c'è una maniera alternativa di procedere? Grazie
Si consideri la retta
$\{(x = t),(y = 3t - 1),(z = 2t):}$
a) Si scriva l'equazione del fascio di piani passante per $r$
b) Si scriva l'equazione del piano passante per $r$ e per $P=(1,2,0)$
c) Si scrivano le equazioni delle sfere di raggio $1$ tangenti a tale piano nel punto $P$
Ho risolto i primi due punti (spero correttamente!):
a) Scrivo le rette in forma cartesiana, perciò ottengo
$\{(3x - y - 1 = 0),(2x - z = 0):}$
allora il fascio di piani sarà
$\lambda (3x - y - 1) + \mu (2x - z) = 0$
b) impongo il passaggio del fascio di piani per il punto $P=(1,2,0)$, risulta
$\lambda = 0, \mu = 2$
e il piano cercato sarà
$\pi : 2x - z = 0$
c) pensavo di procedere scrivendo l'equazione della retta perpendicolare al piano, quindi con coseni direttori $(2,0,1)$ imponendo il passaggio per $P$:
$\{(x = 1 + 2t),(y = 2),(z = -t):}$
Calcolare i valori di $t$ imponendo che la distanza tra i centri delle sfere e il punto $P$ sia unitaria, ottenendo così
$t=+- 1/sqrt(5)$
e le coordinate dei due centri le ottengo sostituendo i due valori di $t$ in
$C = (1+2t, 2, -t)$
Procedo poi a scrivere l'equazione delle sfere.