il crivello funziona nel seguente modo:
- per ogni $v_a$ partendo da $v_1, v_2, v_3... v_a$ eseguo le rispettive funzioni $X_"a1", X_"a2"$ oppure $X_"b1", X_"b2"$
- tutti i $v_a$ con indice dispari, cioè quelli di tipo $v_-$, hanno i multipli per i valori di $X_"a1", X_"a2"$
- tutti i $v_a$ con indice pari, cioè quelli di tipo $v_+$, hanno i multipli per i valori di $X_"b1", X_"b2"$
- dato $n$ l'insieme di tutti i $NN$
eseguo il primo passo per $v_1$ ed elimino tutti i valori $n$ corrispondenti a $X_"a1", X_"a2"$ con $k=1$ e $∀$ valore $y$ da $1$ a $∞$
i primi valori di questa serie sono:
$4;6;9;11;14;16;19;21;24;26... etc$
questi valori producono in $6n+-1$ una coppia contenente un composto multiplo di $v_1$ quindi possiamo escluderli definitivamente perché con certezza non sarà una coppia di primi gemelli (come detto per tutti gli $X"a1"$ sarà l'elemento $v_+$, per tutti gli $X"a2"$ sarà l'elemento $v_-$)
i restanti valori $n$ saranno tutti quelli potranno ancora essere produttivi di una coppia di primi gemelli e andremo a verificarli proseguendo con questo crivello.
eseguiamo ora la serie per $v_2$ ed eliminiamo tutti i valori $n$ corrispondenti a $x_"b1", x_"b2"$ con $k=1$ e $∀$ valore $y$ da $1$ a $∞$
i primi valori di questa nuova serie sono:
$6;8;13;15;20;22;27;29;34;36... etc$
anche in questo caso potremo escludere tutti questi valori perché non produttivi una coppia di primi gemelli (come detto per tutti gli $X"b1"$ sarà l'elemento $v_-$, per tutti gli $X"b2"$ sarà l'elemento $v_+$)
il risultato dei due passi sarà il seguente
nota: questo crivello è orientato ai primi gemelli ma conoscendo anche quali sono i composti $v_-$ e $v_+$ che vado ad eliminare ne consegue che tutti i salti fra numeri primi rispondono a queste quattro funzioni in modo determinato.
Che sia la distanza minima equivalente a quella dei primi gemelli o una distanza molto grande questa è determinata dalla distribuzione di tutti i valori che abbiamo chiamato $X_"a1";X_"a2";X_"b1";X_"b2"$
Questa è la regolarità di cui vado parlando.
Dire che le distanze fra primi successivi sono determinate dal fatto che fra loro ci sono composti è di per sé banale e non dice nulla. Se si osserva tutto l'insieme $NN$ ci sfugge come questo avviene. Così invece è molto più chiaro:
- se è 2 questo è perché non ci sono composti nella coppia $6k-1;6k+1"$
- se è 4 questo è perché non ci sono composti fra $6k+1$ e $6(k+1)-1$
- se è $>4$ sarà tanto grande quanti sono i composti di $6k+-1$ che li separano
Tornando ai primi gemelli e al crivello la domanda successiva è quando possiamo dire che un dato $n$ che fin lì non ho eliminato non appartiene più con certezza a nessun valore di $X_"a1";X_"a2";X_"b1";X_"b2"$ e quindi è produttivo di una coppia di primi gemelli?
Per farlo mi è di aiuto descrivere quella che ho chiamato matrice dei composti e che andrò a dettagliare al passo successivo una volta verificato che fin qui non ci sono errori