Moto corpo su piano inclinato

Messaggioda caffeinaplus » 13/08/2019, 19:08

Salve a tutti e ringrazio per le tante cose che sto imparando grazie a voi :-D

Sto facendo questo esercizio in cui mi sfugge qualcosa sulla conservazione delle varie quantità cinematiche
Il testo dice
Un oggetto $A$, di piccole dimensioni e massa $m$, inizia a scivolare senza attrito dal punto più alto di un piano inclinato, il quale ha lunghezza di base $L$, inclinazione a e massa $M$. Tale piano inclinato può scorrere liberamente e senza attrito su un piano orizzontale sottostante. Qual è la velocità di $A$ quando colpisce il piano orizzontale?




Immagine

Allora ho ragionato in questi termini:
L'unica forza qui ad agire è quella di gravità, tolta la reazione del piano che però non è utile ai nostri scopi.

Allora

$2mgLtan(alpha) = mv^2 + MV^2$

Mentre per la quantità di moto il discorso vale solo per la componente orizzontale della velocità, se consideriamo il moto in un sistema di riferimento ortogonale $Oxy$.

Allora

$mv_x = -MV$

Dove $V$ è senza pedice tanto l'unico moto che può intraprendere è un moto orizzontale, quindi non ha componente lungo l'asse $y$

Di conseguenza $V = -m/M v_x$

Allora abbiamo bisogno di ricavare la velocità orizzontale del moto del nostro corpo $A$

Io ho pensato, in modo sbagliato, che con qualche considerazione geometrica si poteva concludere che $v_x = vcos(alpha)$

E ottenere quindi che

$2mgLtan(alpha) = mv^2(1+ m/Mcos^2(alpha) ) $

E quindi

$v = sqrt( (2mgLtan(alpha) ) / (1+m/Mcos^2(alpha) )$

Che però non è il risultato giusto.

L'unica altra idea era di intraprendere uno studio cinematico sul moto di $A$ per ottenere la quantità di velocità lungo l'asse $x$ ma mi sembra un metodo troppo artificioso e poco furbo.

Grazie in anticipo per l'aiuto :smt023

Il risultato corretto è $v = sqrt(2mgLtan(alpha) ) * sqrt( 1 - ( m/M ) / ( 1+tan^2(alpha)(1+m/M)^2 +m/M )$
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Re: Moto corpo su piano inclinato

Messaggioda mgrau » 13/08/2019, 21:01

Il risultato corretto è terrificante... ma il ragionamento è semplice.
Siccome la componente orizzontale della QM si conserva (è sempre zero) allora le velocità orizzontali del piano e del punto sono inversamente proporzionali alle masse. In altre parole, si può dire che il moto del centro di massa è verticale.
Poi, siccome l'energia disponibile è la variazione di energia potenziale del punto, nota, questa energia si distribuisce in energia cinetica del piano e del punto.
Si tratta di scrivere qualche equazione che traduce questo...
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Re: Moto corpo su piano inclinato

Messaggioda caffeinaplus » 13/08/2019, 21:41

Ciao e grazie per l'aiuto :-D
Si il ragionamento era abbastanza chiaro anche a me come di (spero) vede dal mio procedimento, anche se mi manca quel qualcosa per risolverlo :lol:
Quindi tu suggerisci di individuare il centro di massa del sistema e poi studiarne il moto?

Solo che potrebbe risultare un po difficile, dato che non so ad esempio se il piano è omogeneo.

Inoltre avevo pensato di aggirare il problema considerando solo la velocità del centro di massa, ma dovrei comunque poi individuare la sua posizione per poter usare la conservazione dell'energia.

Ho provato a impostare la conservazione dell'energia meccanica con il solo moto di $m$ e la velocità del centro di massa ma con scarsi risultati
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Re: Moto corpo su piano inclinato

Messaggioda mgrau » 13/08/2019, 23:29

Hai regione, te l'ho fatta troppo facile...
Mi è venuta questa idea, che magari puoi provare a sviluppare.
Nella figura che segue


Immagine

si vede che l'oggetto mentre scende a destra spinge il piano a sinistra, in modo tale che, chiamando con le minuscole le variabili dell'oggetto e con le maiuscole quelle del piano, abbiamo che $mv_x = MV$ (segni a parte), e anche $M/m = v_x/V$. Da qui segue che, quando l'oggetto arriva in fondo, si ha anche che gli spostamenti $x_1$ e $x_2$ .sono nello stesso rapporto: $x_1/x_2 = M/m$.
E si ha anche $x_1 + x_2 = L$, quindi $x_1$ e $x_2$ si ricavano, ossia si trova dove il punto arriva in fondo, e che angolo forma la sua traiettoria con l'orizzontale.
A questo punto è pure nota la relazione fra $v$ e $v_x$, poi, con la conservazione dell'energia...
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Re: Moto corpo su piano inclinato

Messaggioda Shackle » 14/08/2019, 00:21

Questa situazione è già stata discussa qui. Sono lontano da casa ed ho solo il cellulare, per cui non posso fare quel che vorrei. Usate la funzione “cerca “ , digitando “ massa su cuneo “ o qualcosa di simile, e troverete vari esercizi, tra cui per esempio questo:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8258642

Non mi sembra, dal testo dell’esercizio in inglese nel link posto in quella discussione, che la velocità richiesta sia data da una formula tanto complicata.
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Re: Moto corpo su piano inclinato

Messaggioda caffeinaplus » 14/08/2019, 09:17

Quel link è stato proprio utile! :-D

Lo riporto nel caso dovesse servire a qualcun altro questo post: click!

In buona sostanza ( così vediamo pure se ho capito :lol: ) il corpo $m$ da un punto di vista di un osservatore assoluto si muove sì di velocità $vcos(theta)$ ma al tempo stesso, essendo vincolato al corpo $M$ è rallentato dalla sua velocità orizzontale $u$

Ecco allora, dato che la quantità di moto lungo l'asse orizzontale del moto si conserva, che si ha:

$Mu = m(vcos(theta)-u)$
Poi da qui con la conservazione dell'energia meccanica

$1/2Mu^2 +1/2mv^2 = mgh$

Ricordando che $v^2=v*v=abs(v)^2=[(vcos(theta)-u)^2+v^2sin^(theta)]$ con un po di passaggi algebrici si ricava quanto voluto


Il risultato dell'esercizio immagino venga un po più brutto dato che $h$ me la sono dovuta ricavare e quindi è $Ltan(theta)$ che con i calcoli fa comparire qualche termine in più.

Grazie mille ad entrambi :-D
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