Insieme limitato e punti a distanza minima

Messaggioda maxira » 16/08/2019, 17:25

" $T={(x,y): 3x^2+2xy+3y^2-1=0} $

a) Provare che è chiuso è limitato.
b) Trovare i punti con distanza minima da (0,0)."

Non riesco a svolgere questo esercizio.
Che sia chiuso è evidente perché luogo di zeri, ma va bene dire che è limitato perché funzione continua in R^2?

Per il punto b), normalmente uso il metodo dei moltiplicatore di Lagrange. Non avendo alcuna funzione ristretta a T, come dovrei impostare la lagrangiana?

$ L(x,y,lambda )=lambda (3x^2+2xy+3y^2-1) $
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Re: Insieme limitato e punti a distanza minima

Messaggioda Reyzet » 16/08/2019, 17:33

T è una conica, vedi che tipo di conica è.
La funzione da minimizzare è la distanza da O, cioè $f(x,y)=\sqrt(x^2+y^2)$. Anche se ti consiglio di minimizzare $g(x,y)=x^2+y^2$, il che è lo stesso per le proprietà della radice.
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Re: Insieme limitato e punti a distanza minima

Messaggioda pilloeffe » 18/08/2019, 20:10

Ciao maxira,
Reyzet ha scritto:T è una conica, vedi che tipo di conica è.

Per la precisione è una conica semplicemente ruotata di centro l'origine degli assi, infatti c'è solo il termine misto $2xy $, ma non ci sono quelli in $x $ e in $y $. Per vedere di che tipo di conica si tratta puoi anche fare uso delle formule di rotazione:

$\{(x = sqrt{2}/2 X - sqrt{2}/2 Y),(y = sqrt{2}/2 X + sqrt{2}/2 Y):}$
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Re: Insieme limitato e punti a distanza minima

Messaggioda maxira » 19/08/2019, 09:44

Posso direttamente dire che è un'ellisse e che quindi per definizione è limitata?
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Re: Insieme limitato e punti a distanza minima

Messaggioda pilloeffe » 19/08/2019, 10:31

Beh no, dire non basta, lo devi dimostrare: ci sono diversi modi per sapere che tipo di conica rappresenta un'equazione del tipo $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 $
Nel caso proposto $a = c = 3 $ (quindi l'angolo di rotazione è $\pi/4 $), $ b = 2 $, $d = e = 0 $ e $f = - 1 $.
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