Re: Sistemi di Peano

Messaggioda universo » 16/08/2019, 21:48

Non conoscevo quella notazione per indicare una funzione da un singoletto ad un insieme. Il testo usa semplicemente $1\toX$ senza scrivere l'elemento sopra alla freccia. Sul fatto che $X^1$ è un singoletto ci arrivo. Mi leggo il pdf allegato intanto.
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Re: Sistemi di Peano

Messaggioda caulacau » 16/08/2019, 22:12

Casomai \(1^X\).
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Re: Sistemi di Peano

Messaggioda universo » 16/08/2019, 22:20

Già. Per quello che ho scritto io ci sono $|X|$ funzioni.
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Re: Sistemi di Peano

Messaggioda universo » 17/08/2019, 12:49

Se possiamo chiamare successioni le composte $t \circ u$ e $u \ circ s$ allora quel che si vuole dire è che le due successioni sono identiche se e solo se la funzione $u$ è unica, dico male? Gli insiemi sono sempre sottoinsiemi di $\mathbb{N}$?
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Re: Sistemi di Peano

Messaggioda caulacau » 17/08/2019, 12:58

Rileggi la mia risposta: la richiesta che esista un morfismo in \(\sf Dyn\) da \(\bf N\) a \(\bf X\) equivale alla richiesta che esista una funzione \(u\ : \mathbb N \to X\) tale che
\[
\begin{CD}
1 @>0>> \mathbb N @>\text{s}>> \mathbb N \\
@| @VuVV @VVuV\\
1 @>>x> X @>>t> X
\end{CD}
\] questa condizione dice che, se \(u\) esiste, è unica, perché è definita ricorsivamente mediante $t$: se deve succedere che \(u(\text{s}(n)=t(u(n))\), allora \(u_{n+1} = t(u_n)\), considerando \(u\) come una successione \(\{u_n\}_{n\in\mathbb N}\) di elementi di \(X\). E' allora sufficiente specificare il valore \(u_0\) per avere che
\[
\begin{cases}
u_1 = t(u_0) \\
u_2 = t(u_1) = t(t(u_0))\\
u_3 = t(t(t(u_0)))\\
\vdots
\end{cases}
\]
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Re: Sistemi di Peano

Messaggioda universo » 19/08/2019, 18:38

Ho trovato questa riformulazione meno rigorosa http://science.unitn.it/~luminat/didatt ... one/html/e dovrebbe essere più chiara
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Re: Sistemi di Peano

Messaggioda caulacau » 20/08/2019, 01:14

Non ho capito cosa non ti è chiaro.
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Re: Sistemi di Peano

Messaggioda universo » 20/08/2019, 19:12

È chiaro l'enunciato ma non cosa significa e quali conseguenze porta. Per esempio, il Teorema di Densità dice che scelti due elementi r,s di R esiste sempre un elemento q di R tale che r < q < s (chiaramente con r < s). Grazie a questo teorema posso dire che fissato a in R esiste sempre b > a appartenente ad R. Per il teorema di Ricorsione? Sarà che, nonostante me la cavi in informatica, la ricorsione non mi è mai entrata in testa.
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Re: Sistemi di Peano

Messaggioda caulacau » 20/08/2019, 19:19

Significa proprio quel che intendi dimostrare: ogni funzione \(f : X\to X\), quando sia dato un elemento \(x\in X\) determina univocamente un "sistema dinamico"
\[
\{ f^n(x) \mid n \in \mathbb N\}
\] dato dalle iterate di \(f\) su $x$.

Che cosa c'entri questo col fatto che \(\mathbb R\) è un ordine denso, poi, lo sai solo tu. :-)
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