Dati due numeri $a,b>0$, si consideri l’equazione:
\[
\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x + b} = 0\; .
\]
Si dimostri che essa ha due soluzioni reali e che, suddiviso ciascuno degli intervalli $]- b, 0[$ e $]0, a[$ in tre intervalli uguali, le due soluzioni si trovano nei tratti centrali. (Per far vedere che le soluzioni sono solo due, si tenga presente che la funzione $1/(x - alpha)$ è decrescente sia in $]alpha , +oo[$ sia in $]-oo , alpha[$.)
ProPatria ha scritto:Ciao a tutti, mi sono diplomato da poco allo scientifico e tra poco inizierò l'università. La facoltà verso cui sono più orientato è matematica, non tanto perché provi un piacere smisurato nello studiare questa disciplina, più che altro è una delle poche che suscita il mio interesse e ho capito che ormai conoscerla a pieno fa parte di una sfida con i miei amici ma soprattutto con me stesso.
ProPatria ha scritto:Mi sono accorto ultimamente di avere lacune nell'ambito della geometria euclidea, in particolare per quanto riguarda le dimostrazioni, l'applicazione dei teoremi; in generale la reputo noiosa da studiare e anche molto ostica (forse per via della mia scarsa preparazione o del fatto che non ho una particolare "visione geometrica" dei problemi). Parlando di geometria analitica però il discorso cambia avendo la possibilità di ricondurre le figure a equazioni e quindi all'algebra.
ProPatria ha scritto:Volevo chiedervi quindi un consiglio e un parere: cosa ne pensate del fatto che un ragazzo, probabilmente futuro studente di matematica, si avvicina a questa facoltà con una repulsione verso la geometria? Qual'è quindi il ruolo che questa ha nel corso dei 5 anni? Ma soprattutto, avete qualche libro da consigliarmi o semplicemente qualche "dritta" da propormi per migliorare nel tipo di ragionamento richiesto?
Grazie
marco2132k ha scritto:Ma ora è tardi per farsi un'idea concreta. (Che è quello che gli serve, e che serve a me in merito a molti altri corsi di laurea, ovviamente!).
marco2132k ha scritto:@gugo82 Da ēx + arcĕo, che trasla il significato in "sono operoso", "esercito", ecc. Si addice al fatto fondamentale per l'algebra, se non ne riporto la dimostrazione.
marco2132k ha scritto:Dimostra che ogni funzione \( f\colon S\to T \) suriettiva induce una biiezione \( S/{\mathrel{E}_f}\cong T \), dove \( {\mathrel{E}_f} \) è una relazione binaria in \( S \) definita come \( x\mathrel{E}_f y \) se e solo se \( f(x)=f(y) \) (tale relazione è di fatto una relazione di equivalenza, detta nucleo di equivalenza di \( f \)). Chi è tale biiezione quando \( f \) è la proiezione canonica di un prodotto cartesiano \( f=\pi_i\colon X_1\times X_2\to X_i \), per il tuo \( i=1,2 \) preferito?ProPatria ha scritto:Non ho problemi invece per quanto riguarda teoremi [...], l'insiemistica
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