Superficie laterale del cono: metodo alternativo

[LukeV98]

Ho pensato di calcolare la superficie laterale di un cono attraverso un integrale che vada a sommare la lunghezza di tutte le circonferenze che variano in funzione del raggio.
A lezione abbiamo utilizzato questo metodo per trovare il volume del cono "sommando l'area di tutte le circonferenze", tuttavia noto che ciò non funziona per la superficie laterale, come mai?

Grazie

[gugo82]

Fa vedere un po’ i calcoli.

[LukeV98]

Il problema rispecchia quanto chiesto in questo forum: https://math.stackexchange.com/question ... rface-area,
tuttavia leggendo le risposte date non riesco a capire il perchè anziché tenere il differenziale $dh$ si utilizza $(dh)/cos(x)$, approssimando l'areoletta a $2*pi*r*(dh)/cos(x)$.

Grazie

[pilloeffe]

Ciao LukeV98,

Beh, mi sembra abbastanza evidente dalla figura che compare nel link che tu stesso hai postato: se si porta il $\text{d}h $ sulla destra fra i due segmenti orizzontali si ottiene un triangolino rettangolo simile a quello grande e pertanto con uguale angolo $x $ in cima. Applicando poi semplicemente la definizione di $ cos(x) $ al triangolino rettangolo si ha:

$cos(x) = \frac{\text{d}h}{\text{d}a} \implies \text{d}a = \frac{\text{d}h}{cos(x)} $

A questo punto per ottenere $\text{d}A $ basta moltiplicare $\text{d}a $ per la lunghezza della circonferenza $2\pi r $, ottenendo così

$\text{d}A = 2\pi r \cdot \frac{\text{d}h}{cos(x)} $

A questo punto si prosegue osservando che $r = h tan(x) $

[LukeV98]

Ok ho capito ma non mi è del tutto chiara la risposta, dal punto di vista teorico.
Inizialmente pensavo di poter calcolare la superficie immaginando di approssimare il cono con dei cilindretti di altezza infinitesima, di cui calcolavo la superficie laterale; ma ho capito che ciò non va bene perché non è una buona approssimazione, come mai??