gugo82 ha scritto:E meno male…
gugo82 ha scritto:rdlf ha scritto:Intendo dire che, sempre seguendo quello che il mio libro dice, ogni operatore può essere definito su un set ortonormale completo $ {e_n} $ in questo modo $ Te_n = c_n e_n $ dove i $ c_n $ sono gli autovalori e gli $ e_n $ sono gli autovettori dell' operatore, dunque si può automaticamente constatare che gli autovettori dell'operatore sono i due polinomi di Legendre dati?
Beh… Un momento.
È chiaro che se hai un sistema ortonormale completo in $ L^2(-1,1) $ (o in ogni altro $ L^2 $), scegliendo una successione di coefficienti $ (c_n) $ con proprietà “sensate” riesci a definire un operatore mediante la posizione che indica il tuo testo (è che è la decomposizione spettrale di $ T $).
Tuttavia esistono altri modi di assegnare un operatore, come ad esempio $ Tf(x) := int_(-1)^1 phi (x,t) f(t) text(d) t $, con il
nucleo $ phi $ funzione avente proprietà “sensate”. Questo è il caso del tuo esercizio, in cui l’operatore è definito mediante integrale della funzione $ f $ contro il nucleo $ phi(x,t) := 1 + xt $.
Ritornando a questo punto.
$ Tf(x) := int_(-1)^1 phi (x,t) f(t) text(d) t $ è il modo di assegnare un operatore e mi convinci che è il caso del mio esercizio.
Ciò che mi trae in inganno è proprio il testo dell'esercizio quando recita
Un operatore T ammette la seguente decomposizione spettrale:
$(Tf)(x)=1∫f(t)dt+x∫tf(t)dt$
.
Quindi l'intendere il mio operatore come serie di $c_n$ ed $e_n$ cioé come sommatoria infinita di di autovettori ognuno moltiplicato per il suo autovalore. Nel mio esercizio la decomposizione spettrale mi da' una somma di due elementi, entrambi composti da una funzione (funzione costante $1$ e $x$) che moltiplicano rispettivamente un integrale definito che rappresenterà un numero $\in RR$, corrispondente all' autovalore $\lambda$ cercato.
Da qui, assumendo che siano corretti $1$ e $x$ come eigenvectors sfrutto la relazione $Tf=\lambdaf$ con $T(1)=2$ e $T(x)=\frac{2}{3}x \implies \lambda=2, \lambda=\frac{2}{3}$. Come vedi i risultati ritornano, ma il ragionamento che ho fatto è corretto? Avrai notato che sto usando questo esercizio per capire anche le falle che ho nella teoria.
Con matura consapevolezza delle cose matematica, mi fai ben notare che se normalizzati in norma $L^2(-1,1)$, $1$ e $x$ divengono esattamente $P_0(t)$ e $P_1(t)$.
Tant'è che
$T(P_0)=T(1/\sqrt2)=2\frac{1}{\sqrt2} \implies \lambda=2$
$T(P_1)=T(\sqrt\frac{3}{2}t)=\frac{2}{3}\sqrt\frac{3}{2}x$(*)$\implies \lambda=2/3$
Dunque possiamo dire che ai fini del primo punto, l'aver fornite nel testo i primi due polinomi di L. normalizzati sono un mezzo suggerimento per poter immediatamente affermare che gli autovalori sono $1$ e $x$, o equivalentemente, se normalizzati a 1, $1/sqrt2$ e $\sqrt\frac{3}{2}t$
(*)Faccio una domanda probabilmente stupida e sicuramente confusionaria: L'operatore T qui definito non dovrebbe essere applicato a una funzione di $x$ per restituire valori in $t$?; se assumo che sia giusto quello che ho fatto nella riga presente l'asterisco, devo assumere che $\sqrt\frac{2}{3}t=\sqrt\frac{2}{3}x$? ma non capisco perché! cosa mi sta a significare che $x=t$
Tornando a ragionare sulla decomposizione spettrale. E' corretto se dico che i polinomi di Legendre formano un sistema ortonormale completo in $L^2(-1,1)$ dunque l' operatore dell' esercizio può essere definito come serie autovettori moltiplicati ognuno per il suo autovalore. In questo caso $T$ viene definito dalla serie di tutti i polinomi di L., solo i primi due con $\lambda \ne0$, dunque tutte i restanti restanti autovettori (che gli infiniti polinomi di Legendre) hanno tutte come autovalore $\lambda=0$, ese ben ricordo da Geometria, la dimensione del $Ker(f)$ si può definire come pari al numero di autovettori associati all' autovalore $\lambda=0$ che qui sono infiniti. Quindi $Dim(Ker(f))=\infty$
Se provo a farlo coi calcolozzi devo imporre $Tf=0$ ,cioé:
$\int_-1^1(at+b)dt+x\int_-1^1t(at+b)dt=0$
$2/3xa+2b=0 \implies b=-1/3xa\dot , \forall a \in \RR$
quindi se $f(t)=ax+b$ è corretto dire che gli elementi del nucleo sono infiniti e tutti della forma $f(t)= ax-1/3xa=2/3xa$?
(Direi di no perché se prendo $a=3/2$ mi ritrovo l'autofunzione $f(t)=x$ che non fa parte del nucleo, ma vorrei capire dove sto sbagliando.)
Mentre continuo a pensarci mi dedico all'ultimo punto.Intanto grazie mille per l'aiuto e scusa la confusione tremenda!
gugo82 ha scritto:P.S.: Fisico?
Yep