serepopsong ha scritto:Ok, $w$ appartiene al sottospazio generato.
Ma il mio problema è capire perché la dimensione dello $Span(u_1, u_2)$ è $2$ e non $3$...
I vettori $u_1$ e $u_2$ formano una base per il sottospazio $U$, o sbaglio?
Il numero di vettori di una base non è costante, indipendentemente dalla base scelta?
Scusa ma credo di fare confusione con qualcosa ma non capisco dove...
\( U:= \operatorname{span}(u_1, u_2) \), una possibile base di \( U \) è \( B_{U} = \{ u_1, u_2 \} \) in quanto:
1) abbiamo che \( B_{U} \) è una parte generatrice di \( U \), per definizione di \( U \) direi
2) ed inoltre i vettori dell'insieme \( B_U \) sono linearmente indipendenti. Difatti
\( \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = 0 \Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = 0 \)
Siccome 1) e 2) sono soddisfatti \( B_U \) è una base di \( U \) e dunque per definizione della dimensione di uno spazio vettoriale abbiamo che \( \dim(U)= 2 \).
Dimostriamo che \( \{ e_1, e_2,e_4 \} \) non sono una base di \( U \), la definizione di insieme di generatori è la seguente:
Un insieme \( X \subset V \) si chiama sistema di generatori di \(V \), se e solo se tutti gli elementi \( v \in V \) sono ottenuti come combinazione lineare di vettori di \( X \).
Qual'è parte della definizione di sistema di generatori non è rispettata nel nostro caso? Il fatto che \( \{ e_1, e_2,e_4 \} \not\subset U= \operatorname{span}(u_1,u_2) \), infatti risulta \( \not\exists \alpha_1, \alpha_2 \) scalari tale che \( e_1 = \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 \) ad esempio.
Pertanto \( \{ e_1, e_2,e_4 \} \) non sono un sistema di generatori \( U \) e dunque non sono una base di \( U \).
EDIT:
Abbiamo comunque che \( \operatorname{span}(u_1, u_2) \subset \operatorname{span}(e_1, e_2, e_4) \) quindi si ogni elemento di \( u= \alpha u_1 + \beta u_2 \in U \), con \( \alpha, \beta \) scalari; può essere ottenuto come combinazione lineare di \( e_1, e_2, e_3 \) infatti, \( u= \alpha e_1 + (\alpha+ \beta) e_2 + \beta e_4 \), e abbiamo pure che \( \{ e_1, e_2, e_4 \} \) sono linearmente indipendenti, però rimane il fatto che \( \{ e_1, e_2, e_4 \} \) non sono un sistema di generatori di \( U \), proprio perché non sono un sottoinsieme di \( U \), e dunque non sono una base di \( U \).