da 3m0o » 11/09/2019, 02:33
Puoi usare il criterio del rapporto o di D'Alembert ma non così semplicemente. Credo che il tuo professore intenda quanto segue, se nominiamo la tua serie di potenze
\[ S:= \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k x^k= a_0 x^0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4+ \ldots \]
Significa che i termini pari della tua successione \( (a_k) \) si annullano in quanto \[ S= \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} x^{2k-1}= -x + \frac{1}{3} x^3 + \ldots \]
Dunque \(a_0 = 0\), \( a_1 = -1 \), \( a_2=0 \), \( a_3 = \frac{1}{3} \), \( a_4 = 0 \), etc...
Pertanto \( a_{2k-1} =\frac{(-1)^k}{2k-1} \), \( \forall k \in \mathbb{N}^{*} \) e i termini pari \( a_{2k}=0 \), \( \forall k \in \mathbb{N} \). E dunque non puoi applicare D'Alembert in quanto ci sono dei coefficienti nulli.
Per applicare D'Alembert infatti è richiesto che \( a_k \neq 0 , \forall k \)
Tu testando tutti (o molti sarebbe più coretto dire) i \( k \), non trovi nessun coefficiente nullo perché è esattamente come inserire tutti i \( k \) da \( 1 \) a \( \infty \) dentro a \( a_{2k-1} =\frac{(-1)^k}{2k-1} \).
Quello che puoi fare se proprio ti piace il criterio di D'Alembert, ma non so se fa parte del programma del liceo (già son sorpreso che tu faccia le serie di potenze), è considerare un arbitrario numero \( \tilde{x} > 0 \) e osservare se la serie numerica (non serie di potenze) converge.
\[S_{n} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} \tilde{x}^{2k-1} \]
In questo caso puoi applicare D'Alembert in quanto puoi affermare tranquillamente che \( b_k = \frac{(-1)^k}{2k-1} \tilde{x}^{2k-1} \) \(\forall k \in \mathbb{N} \), in questo caso nessun coefficiente \( b_k \) si annulla, e dunque studiare la convergenza della serie numerica e dedurre quella della serie di potenze.
Per un altro esempio simile considera il polinomio di Taylor della funzione \(f(x)= \sin(x) \); che è:
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
E sia \( \tilde{x} >0 \), un numero reale qualunque e definiamo \( b_n := \frac{(-1)^n }{(2n+1)!}\tilde{x}^{2n+1} \), \( \forall n \in \mathbb{N} \)
\[ \rho = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\mid b_{n+1} \mid}{\mid b_n \mid}= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(2n+1)!}\tilde{x}^{2n+1}}{\frac{1}{(2n-1)!}\tilde{x}^{2n-1}}= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\tilde{x}^2}{(2n+1)2n} = 0 \]
Siccome \( \rho < 1 \) abbiamo che la serie numerica
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{\tilde{x}^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
È assolutamente convergente, in particolare convergente dunque la serie di potenze converge assolutamente su \( (- \tilde{x}, \tilde{x} ) \), e per l'arbitrarietà di \( \tilde{x} >0 \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
converge assolutamente su \( \mathbb{R} \).