Criterio del rapporto(Serie Di Potenze)

Messaggioda AlexanderSC » 10/09/2019, 17:20

Buongiorno,

mentre stavo riguardando le slide della nostra lezione, mi è venuto un dubbio sulla spiegazione del perché non possiamo fare uso del Criterio del rapporto sulla serie in questione(La spiegazione del professore è cerchiata in rosso).



Immagine

Affinché possa essere usato questo criterio, il coefficiente \( A(k) \neq 0 \) per ogni \( k\geq 0 \) .

La mancanza di coefficienti pari viene interpretata dal nostro professore come coefficiente nullo.
Questo per me non ha molto senso, perché applicando un po' tutti i k, non riesco a trovare un esempio dove un coefficiente si annulli.

Forse non ho capito le condizioni per l'uso del criterio del rapporto, oppure la spiegazione del professore . . .

Aiuto. :(
AlexanderSC
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Re: Criterio del rapporto(Serie Di Potenze)

Messaggioda 3m0o » 11/09/2019, 03:33

Puoi usare il criterio del rapporto o di D'Alembert ma non così semplicemente. Credo che il tuo professore intenda quanto segue, se nominiamo la tua serie di potenze
\[ S:= \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k x^k= a_0 x^0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4+ \ldots \]
Significa che i termini pari della tua successione \( (a_k) \) si annullano in quanto \[ S= \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} x^{2k-1}= -x + \frac{1}{3} x^3 + \ldots \]
Dunque \(a_0 = 0\), \( a_1 = -1 \), \( a_2=0 \), \( a_3 = \frac{1}{3} \), \( a_4 = 0 \), etc...
Pertanto \( a_{2k-1} =\frac{(-1)^k}{2k-1} \), \( \forall k \in \mathbb{N}^{*} \) e i termini pari \( a_{2k}=0 \), \( \forall k \in \mathbb{N} \). E dunque non puoi applicare D'Alembert in quanto ci sono dei coefficienti nulli.
Per applicare D'Alembert infatti è richiesto che \( a_k \neq 0 , \forall k \)
Tu testando tutti (o molti sarebbe più coretto dire) i \( k \), non trovi nessun coefficiente nullo perché è esattamente come inserire tutti i \( k \) da \( 1 \) a \( \infty \) dentro a \( a_{2k-1} =\frac{(-1)^k}{2k-1} \).

Quello che puoi fare se proprio ti piace il criterio di D'Alembert, ma non so se fa parte del programma del liceo (già son sorpreso che tu faccia le serie di potenze), è considerare un arbitrario numero \( \tilde{x} > 0 \) e osservare se la serie numerica (non serie di potenze) converge.
\[S_{n} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} \tilde{x}^{2k-1} \]
In questo caso puoi applicare D'Alembert in quanto puoi affermare tranquillamente che \( b_k = \frac{(-1)^k}{2k-1} \tilde{x}^{2k-1} \) \(\forall k \in \mathbb{N} \), in questo caso nessun coefficiente \( b_k \) si annulla, e dunque studiare la convergenza della serie numerica e dedurre quella della serie di potenze.

Per un altro esempio simile considera il polinomio di Taylor della funzione \(f(x)= \sin(x) \); che è:
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
E sia \( \tilde{x} >0 \), un numero reale qualunque e definiamo \( b_n := \frac{(-1)^n }{(2n+1)!}\tilde{x}^{2n+1} \), \( \forall n \in \mathbb{N} \)
\[ \rho = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\mid b_{n+1} \mid}{\mid b_n \mid}= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(2n+1)!}\tilde{x}^{2n+1}}{\frac{1}{(2n-1)!}\tilde{x}^{2n-1}}= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\tilde{x}^2}{(2n+1)2n} = 0 \]
Siccome \( \rho < 1 \) abbiamo che la serie numerica
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{\tilde{x}^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
È assolutamente convergente, in particolare convergente dunque la serie di potenze converge assolutamente su \( (- \tilde{x}, \tilde{x} ) \), e per l'arbitrarietà di \( \tilde{x} >0 \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
converge assolutamente su \( \mathbb{R} \).
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Re: Criterio del rapporto(Serie Di Potenze)

Messaggioda anto_zoolander » 11/09/2019, 05:43

aggiungo che il criterio del rapporto prevede che tu possa scrivere $a_(n+1)/a_n$
quindi per poterlo usare, la successione, deve essere definitivamente a termini positivi.

btw sposto in analisi matematica di base
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Re: Criterio del rapporto(Serie Di Potenze)

Messaggioda AlexanderSC » 11/09/2019, 11:19

Grazie per la risposta eusastiva, l'ultima parte non l'ho ben capita(la risoluzione alternativa intendo), ma per il resto è tutto chiaro.
P.s.
Grazie per aver spostato la domanda in *analisi matematica di base*.
Ora sto all'università, ma il livello della materia avevo erroneamente ipotizzato appartenesse a questa sezione.

Un saluto :D .
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Re: Criterio del rapporto(Serie Di Potenze)

Messaggioda 3m0o » 11/09/2019, 11:44

Per l'altra parte semplicemente passi da una serie numerica, riprendiamo l'esempio del polinomio di Taylor della funzione seno. Hai la serie di potenze
\[\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n =\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}= a_0 x^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots \]
Non puoi usare D'Alembert per lo stesso motivo di prima, i coefficienti pari di \( (a_n) \) sono tutti nulli, mentre i coefficienti dispari sono \( a_{2n+1} = \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \). Ora prendi un \( \tilde{x} >0 \), arbitrario e fissalo. E definiamo \( b_n := \frac{(-1)^n }{(2n+1)!}\tilde{x}^{2n+1} \), \( \forall n \in \mathbb{N} \) e considera la serie numerica
\[\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{\tilde{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}= b_0 + b_1 + b_2 + b_3 + \ldots \]
Hai \( b_0 = a_1 \tilde{x} \), \( b_1 = a_3 \tilde{x}^3 \), \( b_2= a_5 \tilde{x}^5 \), etc..
Nessun termine si annulla in questa serie numerica poiché hai definito i termini di \( b_n = a_{2n+1} \tilde{x}^{2n+1} \), \(\forall n \). Ti ricordo che \( \tilde{x} \) è un numero positivo arbitrario. Dunque puoi usare D'Alembert. Poi sfrutti un teorema (di cui non ricordo il nome) che ti dice
Sia \( \tilde{x} \neq 0 \), se la serie numerica \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \tilde{x}^n \) converge allora la serie di potenze \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) converge assolutamente su \( (-\tilde{x},\tilde{x} ) \), se \( \tilde{x} > 0 \), oppure su \( (\tilde{x},-\tilde{x} ) \), se \( \tilde{x} < 0 \).

Tornando al nostro esempio siccome la serie numerica \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n \) converge (lo vedi con D'Alembert), allora anche la serie numerica \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \tilde{x}^n \) converge, infatti \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \tilde{x}^n \), poiché i termini pari di \( a_n \) si annullano. E dunque la serie di potenze \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) converge assolutamente nell'intervallo \( (-\tilde{x},\tilde{x} ) \).
Siccome hai scelto \( \tilde{x} \) in modo arbitrario puoi dire che converge \( \mathbb{R} \).
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Re: Criterio del rapporto(Serie Di Potenze)

Messaggioda 3m0o » 11/09/2019, 12:21

anto_zoolander ha scritto:aggiungo che il criterio del rapporto prevede che tu possa scrivere $a_(n+1)/a_n$
quindi per poterlo usare, la successione, deve essere definitivamente a termini positivi.

btw sposto in analisi matematica di base

Dipende da che definizione del criterio di D'Alembert hai. A me hanno dato questa
Sia \( (a_n) \) una successione a termini in \( \mathbb{R}^* \), tale che \( \rho = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{ \mid a_{n+1} \mid}{\mid a_n \mid} \) esiste. Allora
- se \( \rho < 1 \), la serie \( \sum a_n \) converge assolutamente
- se \( \rho >1 \), la serie \( \sum a_n \) diverge
Però se effetivamente togli il valore assoluto (e quindi hai convergenza ma non assoluta se \( \rho < 1 \) ) hai ragione te :wink:
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Re: Criterio del rapporto(Serie Di Potenze)

Messaggioda anto_zoolander » 11/09/2019, 14:58

@3m0o
In genere quasi tutte ‘ste condizioni rimangono se ci metti un bel “definitivamente” :lol:

Comunque nella sostanza si dimostra il teorema per successioni a valori positivi perché tanto la successione dei valori assoluti è appunto una a valori positivi.
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