Logaritmi

Messaggioda Aletzunny » 11/09/2019, 15:55

Non ho capito la dimostrazione che porta a ottenere da

$x=log_(a)(b)$ e $y=log_(c)(b)$

La formula

$log_(a)(b)=log_(a)(c)*log_(c)(b)$

Grazie
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Re: Logaritmi

Messaggioda marco2132k » 11/09/2019, 17:13

Suppongo che tu abbia definito in qualche modo la funzione esponenziale \( \exp_a \), e dunque il logaritmo come l'inversa \( \mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R} \) di una sua opportuna restrizione.

Dunque, dato \( x\in\operatorname{Dom}\log_a \) per un logaritmo di base \( 0<a\neq 1 \), sarà \( x=\exp_a{\log_a x} \). Cosa succederebbe se ora applicassi una logaritmo \( \log_b \) di base \( 0<b\neq 1 \) a quella cosa?

p.s. Ho chiamato più civilmente \( x \) l'argomento del logaritmo. Non c'è bisogno di porre \( x,y=\dots \) (a me fa solo più casino :c)

p.p.s. Ovviamente si pone il simbolo \( a^x \) uguale a \( \exp_a x \).
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Re: Logaritmi

Messaggioda Aletzunny » 11/09/2019, 18:03

marco2132k ha scritto:Suppongo che tu abbia definito in qualche modo la funzione esponenziale \( \exp_a \), e dunque il logaritmo come l'inversa \( \mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R} \) di una sua opportuna restrizione.

Dunque, dato \( x\in\operatorname{Dom}\log_a \) per un logaritmo di base \( 0<a\neq 1 \), sarà \( x=\exp_a{\log_a x} \). Cosa succederebbe se ora applicassi una logaritmo \( \log_b \) di base \( 0<b\neq 1 \) a quella cosa?

p.s. Ho chiamato più civilmente \( x \) l'argomento del logaritmo. Non c'è bisogno di porre \( x,y=\dots \) (a me fa solo più casino :c)

p.p.s. Ovviamente si pone il simbolo \( a^x \) uguale a \( \exp_a x \).


Si è stato introdotto all'interno degli esponenziali, tuttavia non ho davvero compreso ciò che mi hai scritto...
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Re: Logaritmi

Messaggioda @melia » 11/09/2019, 18:58

Da $ x=log_(a)(b) $ ricavi $b=a^x$ da $ y=log_(c)(b) $ ricavi $b=c^y$, infine posto $z=log_a c$ si ricava $a^z=c$
quindi $a^x=b=c^y=(a^z)^y=a^(zy)$, uguagliando il primo e l'ultimo termine della catena di uguaglianze si ottiene $x=zy$ che, risostituendo, diventa
$log_(a)(b)=log_(a)(c)*log_(c)(b) $
Sara Gobbato

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Re: Logaritmi

Messaggioda Aletzunny » 11/09/2019, 19:02

Grazie mille... finalmente ho capito...

E non comprendo perché a lezione non ci sia stato detto di $z$
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