Forma Differenziale

Messaggioda GEpsilon » 11/09/2019, 22:37

Buona sera a tutti, mi servirebbe un aiuto con questo esercizio che ho preso da un testo d’esame. Si tratta di una forma differenziale il cui esercizio chiede dove è esatta, e se lo è, di calcolare eventualmente la sua primitiva.
Questa è la forma differenziale assegnata:
$ omega (x,y)= frac{2x(x^2y+y^3+1)}{x^2+y^2} dx + frac{x^4+x^2y^2+2y}{x^2+y^2}dy $

Sapendo che la forma differenziale è definita in $ mathbb(R)^2\\ {(0,0)} $ , quindi in un insieme non semplicemente connesso, che però è chiusa in quanto:
$ (partial A)/(partial y) = frac{2x^5+4x^3y^2+2xy^4-4xy}{(x^2+y^2)^2}= (partial B)/(partial x) $

Verificando la chiusura posso dire che è localmente esatta. Quindi procedo con il calcolo della funzione potenziale:
$ U(x,y)= int frac{x^4+x^2y^2+2y}{x^2+y^2} + c(x) $

Che facendo il calcolo mi porta a questo risultato:
$ U(x, y)=x^2y+log(x^2+y^2)+c(x) $

E derivando rispettivamente per $ x $ ottengo:
$ (partial U)/(partial x)=2xy+frac{2x}{x^2+y^2}+cprime(x) $

Conoscendo la derivata parziale di $ U $ rispetto ad $ x $, ottengo che $ cprime(x) = 0 $, e quindi $ c(x) = 0 $. Portandomi al risultato della funzione potenziale:
$ U(x,y) = x^2y+log(x^2+y^2) $

Vorrei sapere se il procedimento e il risultato sono corretti. Grazie a chi mi risponderà :D
GEpsilon
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Re: Forma Differenziale

Messaggioda Mephlip » 11/09/2019, 23:39

Il risultato è corretto, manca giusto una costante $c$; come mai hai dei dubbi?
O meglio, la domanda che vorrei porti è: qual è la definizione di primitiva (o potenziale) di una forma differenziale?
Mephlip
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