integrale doppio

Messaggioda cri98 » 11/09/2019, 18:15

$ int int_(A)(x^2+y^2) dx dy $
$ A={(x,y)in R^2: x^2+y^2<=6x} $

1)$ 162 pi $

2)$ 81 pi $

3) $ 243/2 pi $

4)$ 81/2 pi $
risolvendo ottengo:
$ int_(-8)^(0) int_(0)^(sqrt(8y-y^2)) x^2+y^2 dx dy =int_(-8)^(0)y^2 dy+ int_(0)^(sqrt(8y-y^2))x^2 dx= int_(-8)^(0) y^2+[x^3/3]_(0)^(sqrt(8y-y^2))dy= int_(-8)^(0) y^2+[sqrt((8y-y^2))/3] dy =y^3/3+ 1/3int_(-8)^(0)sqrt(8y-y^2) dy = $
come proseguo la risoluzione?
Grazie
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Re: integrale doppio

Messaggioda Bokonon » 11/09/2019, 19:39

Non prosegui, perchè è sballato.
Si torna alla casella 1.
Come è fatto il dominio A?
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Re: integrale doppio

Messaggioda DeltaEpsilon » 11/09/2019, 20:02

La risposta è la numero 3

Non voglio mostrarti lo svolgimento dell'intero esercizio, ma sono disposto ad aiutarti con dei suggerimenti.

Il primo consiglio che ti do è quello di ricorrere a una parametrizzazione del dominio (che è una circonferenza di centro x=3 e raggio 3)

Fatto ciò ti ritroverai un integrale banalissimo.
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Re: integrale doppio

Messaggioda cri98 » 12/09/2019, 10:34

salve ragazzi
seguendo i vostri consigli ottengo:
che il dominio è normale rispetto a y
$ { ( 3<=y<=-3 ),(-sqrt(6x-y^2)<=x<=sqrt(6x-y^2) ):} $
cri98
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Re: integrale doppio

Messaggioda bastian.0 » 12/09/2019, 11:39

No, io ti consiglio di non usare questa strada, fai un passo indietro vedi la circonferenza di centro (3,0) e raggio 3 come ti hanno detto, però di utilizzare le coordinate polari traslate rispetto all'origine. A me porta $243pi/2$
bastian.0
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Re: integrale doppio

Messaggioda DeltaEpsilon » 12/09/2019, 12:00

cri98 ha scritto:salve ragazzi
seguendo i vostri consigli ottengo:
che il dominio è normale rispetto a y
$ { ( 3<=y<=-3 ),(-sqrt(6x-y^2)<=x<=sqrt(6x-y^2) ):} $


Usa le coordinate polari! Vedrai come diventa semplice l'integrale
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Re: integrale doppio

Messaggioda pilloeffe » 15/09/2019, 02:02

Ciao cri98,
cri98 ha scritto:seguendo i vostri consigli ottengo:
che il dominio è normale rispetto a y [...]

No... Casomai potresti osservare che $ f(x, y) = x^2+y^2 $ è una funzione pari:

$ f(-x, y) = f(x, -y) = f(- x, - y) = f(x, y) $

Ora siccome $ A={(x,y) \in \RR^2: x^2+y^2 <= 6x} $ è un cerchio simmetrico rispetto all'asse $x$, se proprio non vuoi risolvere l'integrale doppio proposto facendo uso delle coordinate polari (che comunque anche a me sembra la strada migliore) puoi risolverlo anche nel modo seguente:

$ \int int_A (x^2+y^2) \text{d}x \text{d}y = \int_0^6 [2 \int_0^{\sqrt{6x - x^2}} (x^2+y^2) \text{d}y] \text{d}x = 2 \int_0^6 [\int_0^{\sqrt{6x - x^2}} x^2 \text{d}y + \int_0^{\sqrt{6x - x^2}}y^2 \text{d}y] \text{d}x = $
$ = 2 \int_0^6 [x^2 \sqrt{6x - x^2} + (\sqrt{6x - x^2})^3/3] \text{d}x = $
$ = 2/3 \int_0^6 [3x^2 \sqrt{6x - x^2} + (\sqrt{6x - x^2})^3] \text{d}x = ... = 2/3 \cdot (729\pi)/4 = (243 \pi)/2 $

Pertanto, come ti è già stato scritto, la risposta corretta è la 3).
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