proprietà di sistemi dinamici e matrice delle risposte impulsive

Messaggioda lukixx » 09/09/2019, 03:11

salve ragazzi,
nel corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici (premetto studiamo solo sistemi causali) mi è stata proposta come definizione di Tempo-invarianza di un sistema dinamico
$ { ( dot(x) = f(x,u,t) ),( y = g(x,u,t) ):} $
l' indipendenza delle funzioni $ f $ e $ g $ dal tempo esplicitamente, ovvero
$ f(x,u,t) = f(x,u);$
$ g(x,u,t) = g(x,u); $
con x vettore di stato, u di ingresso e y d'uscita ( rappresentazione ISU )
Tuttavia in una delle lezioni è stato giustificato il fatto che, in un sistema LTI in cui ad un ingresso $ tilde(u) $ corrisponde un'uscita $ tilde(y) $ , all' ingresso traslato $ tilde(u)(t-bar(t) ) $ corrispondesse l' uscita $ tilde(y)(t-bar(t) ) $, attraverso la proprità di tempo-invarianza ( ovviamente senza entrare nel dettaglio motivo per cui non ho capito ): intuitivamente ne capisco il senso, ma matematicamente non capisco come poter dimostrare la relazione tra queste due affermazioni, cioè partendo dall' indipendenza di f() e g() esplicitamente da t, come dimostro che ad un ingresso traslato corrisponde un' uscita ugualmente traslata?
un' altro dubbio riguardante la tempo-invarianza è la conseguente possibilità di scegliere, in un intervallo di osservazione di durata T, qualsiasi istante iniziale, di nuovo ne capisco il senso solo intuitivamente.

ultimo dubbio riguarda la matrice delle risposte impulsive (nello stato/nell'uscita) e in particolare il fatto che, studiando sistemi in cui l'ingresso è applicato da un certo istante $ t_0 $ in poi, questa sia matrice nulla per tutti gli istanti precedenti in cui l'ingresso non è applicato, mi serve comprendere questa cosa perchè fondamentale per un passaggio di una dimostrazione.

grazie per il vostro aiuto :D
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Re: proprietà di sistemi dinamici e matrice delle risposte impulsive

Messaggioda gugo82 » 09/09/2019, 04:58

Basta osservare che la funzione traslata $(x_bar(t)(t), y_bar(t)(t)) := (x(t-bar(t)), y(t-bar(t))$ risolve il problema traslato.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: proprietà di sistemi dinamici e matrice delle risposte impulsive

Messaggioda lukixx » 09/09/2019, 15:45

gugo82 ha scritto:Basta osservare che la funzione traslata $(x_bar(t)(t), y_bar(t)(t)) := (x(t-bar(t)), y(t-bar(t))$ risolve il problema traslato.


sapresti mostrarmi i passaggi cortesemente?
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Re: proprietà di sistemi dinamici e matrice delle risposte impulsive

Messaggioda gugo82 » 09/09/2019, 18:55

Prova a verificare “a mano”.
Dove ti blocchi?
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Re: proprietà di sistemi dinamici e matrice delle risposte impulsive

Messaggioda lukixx » 11/09/2019, 14:15

gugo82 ha scritto:Prova a verificare “a mano”.
Dove ti blocchi?


la definizione che è stata data, diciamo quella di partenza, è relativa ad una rappresentazione ISU, quella che mi interessa "dimostrare" è relativa alla rappresentazione IU, motivo per cui primo passaggio che eseguo è quello di portare il sistema di equazioni
$ { ( dot(x) = f(x,u,t) ),( y = g(x,u,t) ):} $
alla forma di equazione differenziale generale del sistema dinamico ovvero
$ sum_(i = 1)^(n) a_iy^((i))(t) = sum_(i = 1)^(m) b_iu^((i))(t) $,
poi essendo tempo-invariante sono sicuro che i coefficienti $ a_i , b_i $ siano costanti nel tempo ma non capisco come questo mi assicuri che
$ tilde(y)(t-tau) = tilde(u)(t-tau) $

edit:
se suppongo che un sistema sia anche lineare posso affermare che
$ { ( dot(x(t)) = f(x(t),u(t),t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) ),( y(t) = g(x(t),u(t),t) = C(t)x(t)+D(t)u(t) ):} $
per la tempo-invarianza
$ { ( dot(x(t)) = Ax(t)+Bu(t) ),( y(t) = Cx(t)+Du(t) ):} $
quindi calcolare $ dot(x) $ e $ y $ in $ tau = t-t_0 $ equivale a riscrivere il sistema in $ tau $, e se non cambiano le condizioni iniziali allora i sistemi in t e in tau sono equivalenti. Tuttavia non saprei estendere al caso di NON-linearità
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Re: proprietà di sistemi dinamici e matrice delle risposte impulsive

Messaggioda gugo82 » 12/09/2019, 11:30

Chiamiamo $(x,y)=(x(t), y(t))$ una soluzione di $\{(dot(x) = f(x,u)), (y=g(x,u)):}$ e, scelto $tau in RR$, vogliamo verificare che anche $(x_tau , y_tau):=(x(t-tau), y(t-tau))$ è una soluzione del problema, ossia che $\{(dot(x_tau) = f(x_tau , u_tau)), (y_tau =g(x_tau, u_tau)):}$.

Dato che $dot(x_tau)(t) = (text(d))/(text(d) t) [x(t-tau)]= dot(x)(t-tau)$ e dato che $(x,y)$ risolve il problema per ogni $t$, hai $\{ (dot(x) (t-tau) = f(x(t-tau), u(t-tau))), (y(t-tau) = g(x(t-tau), u(t-tau))):}$, ossia $\{ (dot(x_tau) = f(x_tau, u_tau)), (y_tau=g(x_tau, u_tau)):}$, come volevi.
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Re: proprietà di sistemi dinamici e matrice delle risposte impulsive

Messaggioda lukixx » 12/09/2019, 13:09

gugo82 ha scritto:Chiamiamo $(x,y)=(x(t), y(t))$ una soluzione di $\{(dot(x) = f(x,u)), (y=g(x,u)):}$ e, scelto $tau in RR$, vogliamo verificare che anche $(x_tau , y_tau):=(x(t-tau), y(t-tau))$ è una soluzione del problema, ossia che $\{(dot(x_tau) = f(x_tau , u_tau)), (y_tau =g(x_tau, u_tau)):}$.

Dato che $dot(x_tau)(t) = (text(d))/(text(d) t) [x(t-tau)]= dot(x)(t-tau)$ e dato che $(x,y)$ risolve il problema per ogni $t$, hai $\{ (dot(x) (t-tau) = f(x(t-tau), u(t-tau))), (y(t-tau) = g(x(t-tau), u(t-tau))):}$, ossia $\{ (dot(x_tau) = f(x_tau, u_tau)), (y_tau=g(x_tau, u_tau)):}$, come volevi.


graaaaazie _D
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