Al variare di $ n ∈ N\\{0} $ ed $α ∈ R$ sia $ fn: [0, 1] → R $
data da $ f_n(x) = n^α (1 − x^2)^nx +(sen(nx))/(√n) $ -
Sia $ f $ il limite puntuale di $f_n$, ove esiste finito.
Quale/i delle seguenti affermazioni `e/sono certamente vera/e?
1. $f_n$ converge uniformemente a $f$ su $[0,1] <=> alpha < 1/2$
2. se $alpha <= 0$ allora $f_n$ converge puntualmente a $f$ su $[0,1]$ e $ lim_(n→+∞)int_(0)^(1)f_n(x)
dx =int_(0)^(1)f(x)dx $
Ragionamento inconcludente:
Se calcolo il limite puntuale ho che $lim_(n->∞) f_n$
1 operando
$alpha<0$ $n^alpha$ $->0$ o $alpha = 0$ $n^alpha$ $->1$
dato che $0<=x<=1$ $(1 − x^2)^nx$ $->0$
$(sen(nx))/(√n)-> 0$
ne concludo che $lim_(n->∞) f_n = 0=f(x)$
Ora calcolo calcolo la convergenza uniforme $SUP_(x in [0,1])abs(f_n-f(x))$
uguale a $SUP_(x in [0,1])abs(f_n)=n^α (1 − 10)^n1 +(sen(n))/(√n) $per$ n->0$ risulta $0$
Il punto 2. penso valga perché l'integrazione passa al limite uniforme.
DOMANDA:
perché nel 1.si impone $ alpha < 1/2$ e non $ alpha <= 0$?