1) Trova una funzione continua \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) che non mappa insiemi aperti ad insiemi aperti. 2) Trova inoltre una funzione \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), tale che \( f(U) \) è aperto per tutti gli insiemi \( U \) aperti, ma \( f \) non è continua.
Per il 1)
Può andar bene \( id : (\mathbb{R},\tau_D) \to (\mathbb{R},\tau_I) \) , dove \( \tau_D \) è la topologia discreta mentre \( \tau_I \) la topologia indiscreta. Perché abbiamo che \( \mathbb{R} \) è aperto nella topologia indiscreta e dunque \( id^{-1} (\mathbb{R} ) = \mathbb{R} \) è aperto nella topologia discreta. Allo stesso modo \( \emptyset \) è aperto nella topologia indiscreta e \( id^{-1} (\emptyset ) = \emptyset\). Mentre invece ad esempio \( \{a\} \) è aperto nella topologia discreta mentre \( f(\{a\}) \) è chiuso nella topologia indiscreta.
Per il 2)
\( id : (\mathbb{R},\tau_I) \to (\mathbb{R},\tau_D) \), per un ragionamento analogo al punto 1) soddisfa la richiesta del 2)
vi sembra funzionare? Mi sembra strano che basta cambiare la topologia e la stessa funzione diviene continua o non continua.