Re: Congiungere una funzione costante con una a derivate positive

Messaggioda Bokonon » 09/10/2019, 17:43

@vict85
Magari ho capito male io ma, dal titolo del thread, è permesso creare una funzione indicatrice.
Stavo pensando che forse sia possibile provare che una tale funzione non esiste partendo proprio dalla classe delle funzioni assolutamente monotone (nel senso dato da Dissonance) e mostrare che nessuna di esse ha un flesso. Se è così allora è impossibile costruire una funzione indicatrice che sia derivabile in (1,0).
Ha senso?
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Re: Congiungere una funzione costante con una a derivate positive

Messaggioda dissonance » 09/10/2019, 19:24

@Bokonon: la funzione deve essere derivabile infinite volte. La soluzione "soft" di questo esercizio usa il teorema di Bernstein, secondo cui una funzione assolutamente monotona è analitica; quindi, se essa si annulla su un intervallo, si annulla ovunque. È una cosa controintuitiva, e capisco che tu mi abbia mandato a un paese lontano.

In realtà c'è un'altra dimostrazione, molto più diretta e interessante. Se ho capito bene, si tratta sostanzialmente di adattare questo argomento, prendendo come polinomi i polinomi di Taylor della \(f\), che difatti hanno coefficienti tutti positivi. Ora sono in giro ed è complicato per me mettermi a pensare alla cosa.
Ultima modifica di dissonance il 10/10/2019, 13:12, modificato 1 volta in totale.
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Re: Congiungere una funzione costante con una a derivate positive

Messaggioda Bokonon » 09/10/2019, 23:29

dissonance ha scritto:una funzione assolutamente monotona è analitica; quindi, se essa si annulla su un intervallo, si annulla ovunque.

Beh la mia intuizione "sporca" iniziale con la logistica andava in questo senso...mi conforta
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