Si consideri il sistema trifase in figura, alimentato da una terna diretta di tensioni simmetriche:
I dati sono i seguenti:
\(\displaystyle R = 3, X_{L} = 4, X_{C} = 50, P_{M} = 25k W, Q_{M} = 35k VAr \)
Si richiede di calcolare la potenza rilevata dal wattmetro.
Questo è stato il mio ragionamento: la potenza rilevata, osservando che i morsetti voltmetrici sono collegati alle fasi 1 e 3, e che i morsetti amperometrici sono collegati invece sulla seconda fase, il calcolo da effettuare è il seguente:
\(\displaystyle W = V_{13}I_{2} \cos(\phi) = (E_{1} - E_{3})I_{2} \cos(\phi) \)
Osservando che l'amperometro della prima linea mi fornisce il valore efficace
della prima corrente che alimenta il motore M, che si sa essere un carico equilibrato, e siccome anche tutti gli altri carichi sono equilibrati, allora assumo che anche le altre due correnti abbiano lo stesso valore efficace e che siano distanziate da una fase di \(\displaystyle \frac{2\pi}{3} \), vale a dire:
\(\displaystyle \bar{I_{M1}} = [30,0] \)
\(\displaystyle \bar{I_{M2}} = [30, - \frac{2\pi}{3}]\)
\(\displaystyle \bar{I_{M3}} = [30, - \frac{4\pi}{3}] \)
Dopodiché posso ricavare la fase \(\displaystyle \phi_{M} \) del motore con le relazioni:
\(\displaystyle P_{M} = 3E_{M}I_{M} \cos(\phi_{M})\)
\(\displaystyle Q_{M} = 3E_{M}I_{M} \sin(\phi_{M}) \)
dove con \(\displaystyle E_{M} \) ho indicato la tensione stellata applicata SOLTANTO al carico di condensatori e al motore, che posso eliminare effettuando il rapporto tra le due eguaglianze, e quindi:
\(\displaystyle \phi_{M} = \arctan(\frac{Q_{M}}{P_{M}}) \)
Nota \(\displaystyle \phi_{M} \), adesso posso ottenere \(\displaystyle E_{M} \) sfruttando una delle due relazioni, quindi per esempio:
\(\displaystyle E_{M} \) = \(\displaystyle \frac{P_{M}}{3I_{M} \cos(\phi_{M})} = 463 \) circa.
Poiché la fase \(\displaystyle \phi_{M} \) rappresenta, oltre che la fase del motore, anche la fase di distacco tra tensione stellata e corrente di linea associata, scrivo:
\(\displaystyle \bar{E_{M1}} = [463, \phi_{M}] \)
\(\displaystyle \bar{E_{M2}} = [463, \phi_{M} - \frac{2\pi}{3}]\)
\(\displaystyle \bar{E_{M3}} = [463, \phi_{M} - \frac{4\pi}{3}] \)
A questo punto, ottengo la corrente \(\displaystyle \bar{I_{2}} \) semplicemente come:
\(\displaystyle \bar{I_{2}} = \bar{I_{C2}} + \bar{I_{M2}} \)
dove \(\displaystyle \bar{I_{C2}} = \frac{\bar{E_{M2}}}{-jX_{C}} \).
Lo stesso ragionamento si applica per il calcolo delle altre due correnti di linea, con opportuno cambio di indici.
Restano ancora da calcolare \(\displaystyle \bar{E_{1}} \) ed \(\displaystyle \bar{E_{3}} \).
Sapendo che lo spostamento di centro stella è nullo, per via della presenza
di carichi equilibrati, posso scrivere
\(\displaystyle \bar{E_{1}} = \bar{V_{\dot{Z}}} + \bar{E_{M1}} \)
\(\displaystyle \bar{E_{3}} = \bar{V_{\dot{Z}}} + \bar{E_{M3}} \)
dove con \(\displaystyle \bar{V_{\dot{Z}}} \) indico la tensione sulla singola impedenza \(\displaystyle \dot{Z} = R + jX_{L} \), facilmente calcolabile moltiplicando \(\displaystyle \dot{Z} \) per la corrente di linea corrispondente.
Finalmente, a questo punto, posso ottenere la fase \(\displaystyle \phi \) che compare nella formula del calcolo di \(\displaystyle W \), che rappresenta la differenza di fase tra \(\displaystyle (\bar{E_{3}} - \bar{E_{1}}) \) e \(\displaystyle \bar{I_{2}} \).
Può essere considerato corretto questo procedimento? Vi ringrazio.