\(\Box\) Problema di base: determinare il numero di elementi di ordine \(2\) in \(\mathcal{S}_4\).
Allora, l'idea è che una permutazione composta a se stessa è l'identità se fissa due elementi e scambia gli altri due. In particolare, posso fissare le coppie \(\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\}\), quindi \(\mathcal{S}_4\) avrebbe \(6\) elementi di ordine due.
Quindi si tratta di un problema di combinatoria: conto i modi in cui posso ottenere sottoinsiemi di \(2\) elementi da \(4\), e sottraggo da queste combinazioni le \(4\) date da \(\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\), ovvero in questo caso specifico \[\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=24/4=6.\] Stavo pensando alla generalizzazione a \(\mathcal{S}_n\) di questo problema. Ad esempio nel caso \(\mathcal{S}_8\) posso fissare \(6\) elementi e scambiare gli altri due, ma non finisce qui, perché posso anche fissarne \(4\) e scambiarne \(4\), insomma, posso fissare \(k\) elementi a patto che \(n-k\) sia pari.
Dunque, la generalizzazione della formula passa per una somma da \(2\) da \(n\) su valori \(k\) tali che \((n-k)\text{ mod } 2=0\) dei coefficienti binomiali \((n,k)\): \[\sum_{k=2, \ n-k\text{ pari}}^{n}\binom{n}{k}.\] Ha senso quello che ho scritto? In ogni caso, a questo punto mi sono chiesto come calcolare il numero di elementi di ordine \(m\) nel gruppo \(\mathcal{S}_n\). Esiste una formula per farlo? Non ho avuto ancora l'occasione di pensarci bene per conto mio.
Ciao.