BayMax ha scritto:@alessio76
Proviamo un po' di formalismo, va. Anche se, vista l'ora, non ti garantisco nulla
. Ma chi voglio prendere in giro, è una scusa, come ha detto anche axpgn
.
Allora scriverei così: Siano $f$ e $g$ due funzioni in $R$, tali che $AA x in D$ di $f(x)$ si abbia $f(x) in D$ di $g$ essendo D il dominio. Supponiamo che $f$ sia periodica di periodo $T$ in modo che sia $f(x+kT)=f(x) AA k in Z$. Allora $g\circf=g(f(x))=g(f(x+kT)) AA k in Z$, dalla quale si deduce che $g\circf$ è anch'essa periodica di periodo $T$ per definizione di funzione periodica.
Va un po' meglio ?
Ho anche dei dubbi parte
tali che $AA x in D$ di $f(x)$ si abbia $f(x) in D$ di $g$ essendo D il dominio
in realtà non credo sia necessario che l'intera immagine di $f$ debba appartenere al dominio di $g$; potrei dire che la dimostrazione è valida solo $AA x in D(f) t.c. f(x) in D(g)$.
Per quanto riguarda la funzione costante, bella domanda
. La mia dimostrazione non funziona, proprio perché essa "ha periodo" qualunque numero reale (direi così, ammettendo che si possa definire un periodo per una funzione costante).Quindi, o nella mia dimostrazione suppongo $g\ne(costante)$, oppure posso solo concludere che $T_(g\circf)<=T_f$ oppure... non saprei
Cosa ne pensi ?
Allora, intanto bene che ci tu ci stia provando...poi:
$f$ e $g$ due funzioni in $R$
Vuoi dire che i domini di $f$ e $g$ sono sottoinsiemi di $\RR$ o che hanno esattamente dominio $\RR$?
nel primo caso: "funzioni di variabile reale" è un'espressione adatta, sufficientemente vaga, compatta, non impegna; nel secondo basta dire "di dominio $\RR$" oppure definite su (tutto) $\RR$.
...$f(x) in D$ di $g$...
in realtà non credo sia necessario che l'intera immagine di $f$ debba appartenere al dominio di $g$
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Se proprio non ti garba di scrivere tutto a parole (ma correttamente): per indicare il dominio di una funzione $h$ puoi scrivere qualcosa come $dom(h)$ oppure $\mathcal D_h$
(forse il primo rischia meno di essere frainteso e non richiede troppa conoscenza di Latex). Quindi l'espressione "$f(x)$ appartenente al dominio di $g$" diventa: $f(x)\in dom(g)$.
Sulla condizione di "componibilità", nel caso specifico di funzioni reali di variabile reale, vedi la nota.
Supponiamo che $f$ sia periodica di periodo $T$ in modo che sia $f(x+kT)=f(x) AA k in Z$
Così avresti che esiste uno specifico $x$ per cui il valore di $f$ su di esso coincide col valore di $f$ sui punti che distano da lui per un multiplo intero di $T$, che non è quello che si intende con "funzione di periodo $T$", hai sbagliato
la quantificazione, il punto è:
(*) $f(x+T)=f(x) \forall x\in\mathcal D_f$
2Se questo vale, allora vale anche (per conseguenza) che
$f(x+kT)=f(x)$ $\forall x\in\mathcal D_f$ e $\forall k\in\ZZ$ (con "doppia quantificazione")
semplicemente perché $x+kT=(x+(k-1)T)+T$ e $x+(k-1)T$ è un elemento del dominio di $f$, quindi si può applicare la condizione (*) prendendo "$x$"$=x+(k-1)T$ (c'è il bisticcio della $x$ che sembra la stessa di qua e di la, spero si capisca...in realtà l'uso corretto dei quantificatori serve anche a chiarire questi pasticci).
Per quanto riguarda la funzione costante, bella domanda
. La mia dimostrazione non funziona, proprio perché essa "ha periodo" qualunque numero reale (direi così, ammettendo che si possa definire un periodo per una funzione costante).
Bene, le funzioni costanti hanno periodo ogni $S\in\RR$, e se $g$ è costante lo è anche ogni sua (post)composizione $g\circ f$. La tua dimostrazione funziona e dice, correttamente, che se $T$ è un periodo di $f$ (che $T$ sia "minimo" o no, non importa) allora $T$ è un periodo anche per $g\circ f$; se ora prendi $g$ costante, allora anche $g\circ f$ è costante e quindi, ogni numero reale, non solo $T$, è un suo periodo. Ma evidentemente, se $T$ è IL periodo di $f$
non si può concludere (non sempre) che $T$ sia anche IL periodo della composizione $g\circ f$. Non che sia un dramma, d'altra parte, no? La cosa invece vale, per esempio, se $g$ è iniettiva sull'immagine di $f$...
Allora $g\circf=g(f(x))=g(f(x+kT)) AA k in Z$
e
$AA x in D$ di $f(x)$
"confondere" $f$ con $f(x)$ è un abuso di notazione frequente, e a volte pure utile, ma
$g\circf=g(f(x))$
non va bene: $f$ è il nome della funzione (formalmente è l'insieme di tutte le coppie ordinate $(t; f(t))$...cioè, il grafico, o, a seconda del contesto più o meno formale, la terna ordinata: dominio, codominio, grafico..), invece $f(x)$ è, nel tuo caso, un (semplice) numero: il valore che la funzione $f$ assegna all'elemento $x$ (ancorché generico). Quindi: "dominio di $f$", non "dominio di $f(x)$"; e "$(g\circ f)(x)=g(f(x))$", ok, "$g\circ f=g(f(x))$", no.