Svolgendo alcuni esercizi ho trovato due affermazioni sul mio eserciziario che mi lasciano perplesso perché pur avendo studiato di pari-passo la teoria non riesco a comprendere.
E' quindi evidente che ho trovato una lacuna che vorrei provare a colmare con voi.
Le affermazioni che non capisco sono:
1)
- se la forma bilineare simmetrica è definita positiva non vi sono sicuramente vettori isotropi.
- semidefinita => gli unici isotropi sono quelli del radicale
- indefinita => non ho ben capito come fare a scovare gli isotrpi.
Diciamo che oltre al dubbio sul terzo punto, quello che non riesco a capire è perché "se definita positiva non vi sono sicuramente vettori isotropi". In realtà a me viene da pensare che essendo simmetrica peril teorema spettrale posso avere la corrispondente matrice diagonale (sicuramente) e quindi noto che se è definita allora il prodotto degli autovalori (sulla diagonale) è uguale al determinante della matrice associata al prodotto scalare ergo è NON DEGENERE (non avere autovalori nulli mi garantisce il prodotto non si annulli). Purtuttavia so anche che esistono forme non degeneri che hanno vettore isotropo e quanto ho ipotizzato (cioè che non sia degenere) non basta per indurre qualcosa sugli isotropi. Quindi perché tira fuori quella conclusione mi è molto misterioso.
[EDIT] Che stupido se è definito positivo $(v,v)>0≠0$ ho fatto tutto il ragionamento sul teorema spettrale inutilmente.
2) Passando al dubbio 2:
RIassumendo l'autore dice che la molteplicità algebrica dell'autovalore nullo è la dimensione del radicale (o nucleo come lo chiama il libro di testo). Non ho capito perché anche qui e proprio non so dire nulla a riguardo sul come giunga a tale conclusione.
Spero in aiuti perché sono un po' perso.