Sia \( \{a_j\}_{j \in \mathbb{N} } \subset \mathbb{C} \) tale che
\[ \sum\limits_{n=2}^{\infty} n \left| a_n \right| < 1 \]
1) Dimostra che
\[ f(z) = z + \sum\limits_{n=2}^{\infty} a_n z^n \]
è olomorpha nel disco unitario aperto \( \mathbb{D} \).
2) Calcola \( f'(z) \) dentro \( \mathbb{D} \)
3) Dimostra che \( f \) è iniettiva su \( \mathbb{D} \)
Avrei una chiarimento da chiedere per il punto 1) e invece mi blocco nel punto 3).
1) L'assistente mi ha suggerito che se se la funzione è bornata nel disco unitario aperto allora è olomorfa... però non capisco proprio perché dovrebbe essere vero...
Riesco comunque a bornarla e abbiamo su un disco \( D(0,R) \) e per ogni \( R < 1 \) abbiamo che
\[\left| f(z)\right| =\left| z + \sum\limits_{n=2}^{\infty} a_n z^n \right| \leq \left| R \right| + \sum\limits_{n=2}^{\infty}\left| a_n R^n \right| \]
E facendo tendere \( R \to 1 \) risulta
\[\left| f(z)\right| = 1 + \sum\limits_{n=2}^{\infty}\left| a_n \right| < 2 \]
2) Dovrebbe essere
\[ f'(z) = 1 + \sum\limits_{n=2}^{\infty}n a_n z^{n-1} \]
3) Per l'iniettività prendo \( z = r e^{i \theta}\), \(\omega=\rho e^{i \alpha} \in \mathbb{D} \) ho pensato di procedere nel seguente modo
Supponiamo che abbiamo
\[ \Re(f(\omega))= \Re(f(z)) \]
e che abbiamo
\[ \Im(f(\omega))= \Im(f(z)) \]
Voglio dimostrare che \( z = \omega \)
Allora
\[\Re(f(z))= r \cos \theta + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \Re(a_n) r^n \cos(n \theta)= \rho \cos \alpha + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \Re(a_n) \rho^n \cos(n \alpha)=\Re(f(\omega)) \]
e
\[\Im(f(z))= r \sin \theta + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \Im(a_n) r^n \sin(n \theta)= \rho \sin \alpha + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \Im(a_n) \rho^n \sin(n \alpha)=\Im(f(\omega)) \]
Ma non so come concludere che \( r = \rho \) e \( \theta = \alpha \) a un \( 2 \pi \) preso.
A priori ciascun potrebbe esistere un \( r \) tale che l'errore rispetto a \( \rho \) mi compensi l'errore dell'angolo sia sul coseno che sul seno e potrebbe risultare vero che \(\Re(a_n) r^n \cos(n \theta) = \Re(a_n)\rho^n \cos(n\alpha) \) e \(\Im(a_n) r^n \sin(n \theta) = \Im(a_n) \rho^n \sin(n\alpha) \) per ogni \( n \)... quindi non capisco come continuare, avreste un hint?