[Convergenza di Martingale] Costruzione sequenza particolare

[feddy]

Ciao a tutti,

ho trovato in rete il seguente problema, che richiede (non so come) l'utilizzo del teorema di convergenza per martingale di Doob.

Sia $(F_n)_n$ una filtrazione di $(\Omega, \mathcal{F},\mathcal{P})$. Prova che per $A \in F_{\infty}= \sigma(\cup_n F_n )$ esiste una sequenza $A_n \in F_n$ tale che $\lim_{n \rarr + \infty} P(A_n \Delta A)=0$, dove $A_n \Delta A=(A_n \setminus A) \cup (A \setminus A_n)$.

Il suggerimento dice: definisci $M_n=P(A|F_n)$

Non saprei proprio come procedere, e nemmeno come sfruttare il suggerimento del testo. Qualsiasi hint o altro è ben accetto!

[DajeForte]

Ho elaborato una soluzione a mente. Quindi non so se i dettagli sono tutti a posto. Me li verifichi te??

Partiamo da due hints:
Levy upwards theorem/ Levy zero-one law
Le $M_n$ son $F_n$ misurabili e dunque buon candidati per definire la successione di eventi.

[feddy]

Uhm... dobbiamo ancora arrivarci onestamente. Dovrei riuscire a svolgerlo usando solo il teorema di convergenza di Doob

[DajeForte]

La legge zero uno di Levy si dimostra come corollario del teorema di convergenza di Doob.
Difatti la legge dice che, se $A in F_{infty}$,
$M_n=E[1_A|F_n]$ converge (qc ed in L1) a $1_A$ (nota inoltre che $M_n$ è quella che hai come suggerimento)

[feddy]

Grazie, il punto però è che nel suggerimento c'è $P$, non $E$, e infatti questo mi aveva fatto sospettare ci fosse un typo

[DajeForte]

Prego. A scanso di equivoci, la scrittura $P(A|G)$ è una shorthand per $E[1_A|G]$ che rappresenta una espressione più comunemente usata e univocamente definita.

[feddy]

Capisco, in effetti è vero!

Ti ringrazio, nel weekend provo a vedere tutto il capitolo (prima del prof ) sulla convergenza di martingalee e provo a farlo. Ti ringrazio ancora per gli hint !

[DajeForte]

Piccolo consiglio: se questo esercizio è più avanti rispetto a dove sei oggi, consolida ben bene quanto fatto finora. Ci ritorni poi tra un paio di settimane