Dipende da che livello di formalizzazione ti interessa avere.
Usualmente, ciò che si fa è definire analiticamente le funzioni seno e coseno e poi ricavare “a ritroso” la loro interpretazione geometrica.
La definizione analitica può essere data in almeno quattro modi diversi (serie di potenze, soluzioni di un sistema di EDO del primo ordine, soluzioni indipendenti di una EDO del secondo ordine, parte reale e coefficiente dell’immaginario dell’esponenziale complesso), ma per capirle serve conoscere argomenti più o meno avanzati di Analisi Matematica.
Probabilmente, si può ragionare anche dal punto di vista geometrico, sfruttando le matrici di $text(SO)(2, RR)$… Ma non ti assicuro: aspettiamo che passi di qui un geometra.
Oppure, si potrà sfruttare in qualche modo il fatto che l’esponenziale complesso è un morfismo… Ma aspettiamo che passi di qui un algebrista.
Tuttavia, osserva che queste costruzioni astratte ti restituiscono delle funzioni che solo “a posteriori” puoi dire che sono quelle che ti descrivono le analoghe quantità della Geometria elementare.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)