Vorrei sapere se lo svolgimento di questo esercizio è il più efficiente e soprattutto se è corretto. Purtroppo non conosco la soluzione e non posso nemmeno verificarla con un calcolatore. Non ho nemmeno trovato eserciziari da consultare.
Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie:
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{e^{nx}+1}$$
Ho studiato la convergenza puntuale col criterio del rapporto (è a termini positivi$\forall x\in RR$). Risulta convergente solo per $x>0$.
Per lo studio della convergenza uniforme, si usa quella totale.
Io ho proceduto in questo modo:
Non c'è convergenza puntuale in $]-\infty ,0]$ quindi nemmeno uniforme.
Ho preso $a in ]0,+\infty[$ e calcolato il sup di $|f_n(x)|=|\frac{n^2}{e^{nx}+1}|$ per $x\ge a$
Siccome $f'_n(x)=-n^3\frac{e^{nx}}{(e^{nx}+1)^2}$, si ha $f'_n(x)\le 0$ $\forall n \in N_0, \forall x\ge a$
Dunque \[
\sup_{x\ge a}|\frac{n^2}{e^{nx}+1}|=f_n(a)=\frac{n^2}{e^{na}+1}
\]
La serie numerica che ha come termine generale $f_n(a)$ converge per i risultati ottenuti in precedenza sulla convergenza puntuale quindi la serie converge totalmente ($\Rightarrow$ uniformemente) in $[a,+\infty[$.
