Polinomio minimo di un elemento algebrico

Messaggioda Isaac888 » 08/11/2019, 18:30

Salve a tutti

Ho bisogno di aiuto per trovare un polinomio a coefficienti in $\mathbb{Q}$ che si annulla in $\alpha = \root[3]{6}+\sqrt{2}$.
Intanto posso dire che $\mathbb{K}:=\mathbb{Q}(\root[3]{6},\sqrt{2})$ contiene un campo di spezzamento su $\mathbb{Q}$ per il polinomio minimo di $\alpha$ vero? perchè la radice $\alpha$ la posso esprimere come somma di due elementi del campo considerato suppongo.
Poi essendo la radice cubica e la radice quadrata di gradi primi fra loro su $\mathbb{Q}$ posso dire che una non sta nell'estensione di $\mathbb{Q}$ per l'altra. Dunque $[\mathbb{K}:\mathbb{Q}]\le 6$ per le torri di estensioni giusto? Di conseguenza mi aspetto che il polinomio minimo abbia grado massimo $6$ o un suo divisore... anche se mi sembra impossibile che sia un suo divisore perchè con un polinomio minimo di grado 2 non posso avere una radice cubica come radice e nemmeno il rovescio mi sembra sensato.

A meno di non aver detto castronerie nel frattempo qualcuno può darmi un'idea di come fare per calcolare il polinomio minimo per favore? Stavo pensando di provare con qualcosa tipo radicali doppi per rendere più simpatica la radice $\alpha$ ma non ho trovato formule in tal senso.

Grazie in anticipo
Avatar utente
Isaac888
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 277 di 277
Iscritto il: 18/03/2007, 21:29
Località: Pisa\Latiano

Re: Polinomio minimo di un elemento algebrico

Messaggioda Martino » 09/11/2019, 01:38

Ti consiglio di leggere questo, sezione 4 (pagine 8, 9 e 10).
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 7456 di 7459
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia


Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Alin, wanderer e 18 ospiti