Re:

Messaggioda Falco5x » 09/11/2019, 00:59

Sergeant Elias ha scritto:Io la metterei così. L'unica soluzione:
1. definita in un intorno di un istante in cui le derivate di ogni ordine sono nulle;
2. fisicamente accettabile.
è la soluzione costante. Per questo motivo:
$s=1/144t^4$

non essendo costante e avendo, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle, non è accettabile. Insomma, mi sembra il modo più semplice e indolore per limitare, nel caso in cui non valga il teorema di unicità, le soluzioni del modello matematico alle sole soluzioni fisicamente accettabili. Del resto, si tratta solo di accettare, nel caso in cui le condizioni iniziali impongano un'accelerazione nulla, la soluzione avente, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle.

P.S.
Peccato che:
$s=1/144t^4$

non abbia, per $t=0$, le derivate di ogni ordine nulle. Pazienza, lascio il messaggio lo stesso.

Voglio svelati la genesi arcana di questo problema, che ha spinto me ad aprire questo contestato thread proponendo un caso foriero di dubbi analoghi.

Estraggo da un forum di matematici nel quale si discuteva appunto di questo problema, quanto in spoiler:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
"L'autore di questo problema era interessato però esclusivamente a quelle condizioni iniziali, ossia r(0)=0 e v(0)=0,perchè in questo caso arriva a conclusioni assurde. Io però aggiungerei, come scritto sotto, che si tratta verosimilmente di un sistema altamente idealizzato, e pertanto molto improbabile in natura, se non impossibile a realizzarsi.
......................
In questo caso però non ragioniamo in termini di stabilità perchè non c'è alcuna perturbazione esterna, o meglio nessuno effettua uno spostamento del corpo neppure infinitesimo dalla sua posizione iniziale! Il corpo può iniziare a muoversi al tempo 10, o 100, o 1000 e così via. La soluzione, che peraltro non è universalmente riconosciuta, sta nelle peculiarità di quella espressione della forza ed in un teorema sulle equazioni differenziali che solitamente non si studia, almeno io no lo ho studiato. E si pone la domanda: ma esiste in natura siffatto sistema?
.....................
Ad esempio è stato sostenuto che un fisico del calibro di Landau avrebbe rifiutato di prendere in esame quel sistema perchè nega sostanzialmente il determinismo della meccanica classica. Ma questa è solo una proposta, e neppure la più convincente."


Insomma non stiamo discutendo di cavolate, come qualcuno ha tentato qui di insinuare riferendosi al caso che ho proposto io, ma di questioni al limite della modellizzazione che la matematica propone ai problemi fisici, e se se ne discute dai tempi di Landau penso che siano cose abbastanza interessanti, ma sulle quali noi qui difficilmente potremmo raggiungere un punto di vista unico e convincente.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 09/11/2019, 01:31

mgrau ha scritto:Ma, Falco, fammi capire. Tu sostieni che non puoi costruire in legno la curvo $y = x^(3/2)$, perchè la sua derivata seconda va all'infinito all'origine? E' così?
Se è così, non ci vuol niente a disegnare (e costruire) curve in cui qualche derivata va all'infinito: un semplice cerchio ha due punti a derivata prima infinita; un quadrato con due semicirconferenze applicate su due lati opposti ha la derivata terza infinita in quattro punti, ecc. ecc. Figure perfettamente costruibili. E allora?

Il fatto che un sistema matematico dia un risultato in aperto contrasto con la fisica, che dovrebbe invece modellizzare in modo coerente, credo che ponga qualche domanda lecita, alla quale ciascuno ha il diritto di cercare risposte.
In questo caso, salvo errori di calcolo che potrebbero far chiudere qui la cosa, sembra che un corpo si muova senza alcuna spinta. E questo fa inorridire tutti, me compreso. Allora si può reagire in tre modi: o si dice che sono tutte cavolate e ci si occupa d'altro, oppure si cerca l'errore, o ancora si tenta una risposta d'altro genere.
Ecco, io sono a questo terzo stadio, ma non sono affatto sicuro di avere ragione nelle ipotesi che sto facendo.
Tutto ciò premesso, cerco di rispondere alla tua osservazione.
Una derivata prima infinita non è affatto un problema perché la derivata prima è una pendenza, dunque dipende dal sistema di coordinate scelto. Cambi le coordinate e la derivata prima in quel punto torna finita, e magari diventa infinita in un altro punto. Dunque è una proprietà che non è intrinseca alla curva ma dipende dal riferimento. La derivata seconda, invece ha attinenza con la curvatura, dunque è una proprietà intrinseca della curva.
Prendiamo adesso la curva nostra in esame.
Essa inizia dal punto zero dove è piatta (derivata prima nulla arrivandoci da destra), però presenta proprio in quel punto una derivata seconda infinita (cioè una curvatura infinita? mah...), ma si distende subito diventando una curva normale appena ci si sposta immediatamente a destra dello zero.
Detta così mi pare difficile da visualizzare e tanto meno da realizzare. Se provo a realizzarla traccio solo una parte di curva che è già "normale", in nessun modo riesco a rappresentarla su quel famigerato punto di zero dove inizia, a qualunque livello di scala io tenti di lavorarci.
Ma la matematica invece riesce a descrivere quello che capita proprio iniziando da quello zero maledetto. Se io metto il corpo mobile in una condizione iniziale per quanto vicina allo zero ma ma diversa da zero, ecco che compare un piccolissima forza e il paradosso cessa di esistere. Ma se io metto una condizione iniziale vicina ma non coincidente con lo zero, sto descrivendo matematicamente proprio la curva che sono capace di disegnare, quindi nessun paradosso, la matematica mi descrive di nuovo bene la realtà sperimentale.
Per tutto questo io sono propenso a dire che il problema posto da me è solo una astrazione matematica, e la soluzione trovata concorda con la fisica solo a partire da ogni punto vicinissimo allo zero, ma non proprio sullo zero. Su quel punto singolare la matematica propone un paradosso, che però è solo matematico, non fisico.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Shackle » 09/11/2019, 07:44

Grazie per le spiegazioni , della serie "sarò breve"... :wink:

Tiriamo le somme ?

1) Io non sono convinto che , quando scrivi la formula che inizia cosi:

$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{dE_k}{dt}=...$

ci vada , al posto di $a$ , solo l'accelerazione tangenziale, uguale a $(dv)/(dt) $ , e non piuttosto il modulo della accelerazione totale :

$a = sqrt (((dv)/(dt))^2 + (v^2/r)^2) $

ma non mi metto a indagare su questo. È vero che la forza centripeta non fa lavoro.

2) La curva $y = sqrt(x^3)$ è perfettamente tracciabile, a partire dall'origine : vedi curva $f$ in verde dei miei grafici. Ha tangente orizzontale nell'origine. La derivata seconda tende all'infinito in O , però chiaramente è il raggio di curvatura a tendere all'infinito, quindi la curvatura tende a zero: la curva è asintoticamente piatta. Si vede anche esaminando le formulette che ho riportato, relative alle componenti cartesiane dell'accelerazione : il termine dove $sqrtx$ è al denominatore tende ad $infty$ , l'altro tende a zero. Puoi realizzare senza sforzi un modello di legno , il difficile è fare la tangente orizzontale in O, ma del resto anche la parabola lignea avrebbe la stessa difficoltà. Allora, fatto il modello alla men peggio, si dice agli studiosi lettori : " Qui dovete immaginare che la tangente diventi perfettamente orizzontale ... :-D "

3) un punto materiale (P,m) , messo in O sulla curva, ci rimane in quiete, non va da nessuna parte, in teoria (non soffiare di nascosto...) , viste le condizioni iniziali.

5) molte volte, nel risolvere matematicamente un problema fisico, ci si trova di fronte a due o più soluzioni, e si dice : " questa la scartiamo, perchè fisicamente impossibile" . Si prende per valida quella fisicamente accettabile. Mi viene a mente, ad esempio, il calcolo che si fa nel determinare matematicamente il moto di un proiettile lanciato con una certa $vecv_0$ nel campo $vecg = "cost" $ , ma ce ne sono molti altri.

Non ho altro da aggiungere; ti auguro un buon week end, e non sparire di nuovo. Ciao.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 09/11/2019, 10:27

Non vorrei passare per pedante... (ma lo sono, lo riconosco e ne faccio ammenda), però quando leggo qualcosa che mi stimola, e mi vien da ribattere con cognizione di causa, io ribatto, non ci resisto proprio :D

E allora ecco la mia replica qui di seguito.

Shackle ha scritto:
1) Io non sono convinto che , quando scrivi la formula che inizia cosi:

$ a=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\frac{dE_k}{dt}=...$

ci vada , al posto di $a$ , solo l'accelerazione tangenziale, uguale a $(dv)/(dt) $ , e non piuttosto il modulo della accelerazione totale :

$a = sqrt (((dv)/(dt))^2 + (v^2/r)^2) $

ma non mi metto a indagare su questo. È vero che la forza centripeta non fa lavoro.

Ti ricordo che la relazione dell'energia cinetica, in quanto equivalente a lavoro di una forza, deriva da un prodotto scalare:
\[dE=m\mathbf{g}\cdot \mathbf{ds}=mg\cos \alpha ds={{F}_{T}}ds=m{{a}_{T}}ds=mvdv\]
Quindi se prendi la accelerazione totale e fai il prodotto scalare è come se tu prendessi soltanto il modulo della accelerazione tangenziale, no?

Shackle ha scritto:2) La curva $y = sqrt(x^3)$ è perfettamente tracciabile, a partire dall'origine : vedi curva $f$ in verde dei miei grafici. Ha tangente orizzontale nell'origine. La derivata seconda tende all'infinito in O , però chiaramente è il raggio di curvatura a tendere all'infinito, quindi la curvatura tende a zero: la curva è asintoticamente piatta. Si vede anche esaminando le formulette che ho riportato, relative alle componenti cartesiane dell'accelerazione : il termine dove $sqrtx$ è al denominatore tende ad $infty$ , l'altro tende a zero. Puoi realizzare senza sforzi un modello di legno , il difficile è fare la tangente orizzontale in O, ma del resto anche la parabola lignea avrebbe la stessa difficoltà. Allora, fatto il modello alla men peggio, si dice agli studiosi lettori : " Qui dovete immaginare che la tangente diventi perfettamente orizzontale ... :-D "

Le mie ragioni le ho scritte nella risposta a mgrau, ma non ci voglio tornare sopra, sono solo supposizioni perfettamente contestabili.

A margine ti faccio notare che una derivata seconda infinita denota una curvatura infinita cioè un raggio di curvatura zero, non l'inverso. "perfettamente tracciabile"? Mah...

Shackle ha scritto:3) un punto materiale (P,m) , messo in O sulla curva, ci rimane in quiete, non va da nessuna parte, in teoria (non soffiare di nascosto...) , viste le condizioni iniziali.

Su questo sono perfettamente d'accordo, e la mia teoria di non tracciabilità fisica della curva sull'origine spiegherebbe la discrepanza tra matematica e fisica in quel punto. La mia idea conforta, non confuta le leggi di Newton!

Shackle ha scritto:5) molte volte, nel risolvere matematicamente un problema fisico, ci si trova di fronte a due o più soluzioni, e si dice : " questa la scartiamo, perchè fisicamente impossibile" . Si prende per valida quella fisicamente accettabile. Mi viene a mente, ad esempio, il calcolo che si fa nel determinare matematicamente il moto di un proiettile lanciato con una certa $vecv_0$ nel campo $vecg = "cost" $ , ma ce ne sono molti altri
.
Ma qui il paradosso resta, perché dai miei calcoli non emergono molte soluzioni alcune delle quali scartabili, ma ne esce una precisa relazione di x in funzione del tempo (salvo errori di calcolo, ribadisco, che chiuderebbero subito ogni discussione).

Shackle ha scritto:Non ho altro da aggiungere; ti auguro un buon week end, e non sparire di nuovo. Ciao.

Vuoi davvero che io non sparisca? Vista la mia propensione a scassare gli zebedei :smt021 con i miei post provocatori, non sarebbe forse meglio che io sparissi per sempre da questo forum? :-D
Ciao! :smt039
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Shackle » 09/11/2019, 15:21

Hai ragione per quanto riguarda l'accelerazione, basta solo quella tangenziale. Ma per quanto riguarda la curvatura, non mi sembra che tu la dica giusta. Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura $R$ tende all'infinito, e la curvatura $1/R$ tende a zero. Quando l'equazione della curva è data in coordinate cartesiane, del tipo : $y=f(x)$ , la curvatura è data da :

$1/(R(x)) = (|f''(x)|)/(1+f'(x)^2)^(3/2) $

come dice il Pagani-Salsa nelle due paginette qui allegate :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine
Immagine


Ma io non so se questo vale anche nell' estremo $0$ dell'intervallo di definizione della nostra funzione : $y=sqrt(x^3)$ . Io penso di sí. Derivata seconda di $y$ rispetto a $x$ che tende all'infinito nell'origine significa solo che il vettore velocità nei dintorni di O (ove fosse lecito parlarne, ma io dico di no...) praticamente non cambia di direzione, rimane sostanzialmente orizzontale.

Metto altri due link interessanti:

https://it.wikipedia.org/wiki/Curvatura

http://www.vialattea.net/curvatura/

Saluti .
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 09/11/2019, 16:16

Shackle ha scritto:Hai ragione per quanto riguarda l'accelerazione, basta solo quella tangenziale. Ma per quanto riguarda la curvatura, non mi sembra che tu la dica giusta. Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.

:D :D :D qui hai ragione, ma guarda che ti stai confondendo, sei stato tu a dire una cosa sbagliata che io ho corretto. Cito quello che avevi scritto due post fa:
Shackle ha scritto:La derivata seconda tende all'infinito in O , però chiaramente è il raggio di curvatura a tendere all'infinito, quindi la curvatura tende a zero: la curva è asintoticamente piatta.

Vedi? avevi detto che la curvatura tende a zero per x che tende a zero. Invece la curvatura tende a infinito così come la derivata seconda!

Shackle ha scritto:Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura $R$ tende all'infinito, e la curvatura $1/R$ tende a zero. Quando l'equazione della curva è data in coordinate cartesiane, del tipo : $y=f(x)$ , la curvatura è data da :

$1/(R(x)) = (|f''(x)|)/(1+f'(x)^2)^(3/2) $

Ma insomma, se la f" va a infinito, R va a zero no? perché dici il contrario? Davvero non ti capisco.

Shackle ha scritto:Derivata seconda di $y$ rispetto a $x$ che tende all'infinito nell'origine significa solo che il vettore velocità nei dintorni di O (ove fosse lecito parlarne, ma io dico di no...) praticamente non cambia di direzione, rimane sostanzialmente orizzontale.

Ma la pendenza della curva, che dà la direzione del vettore velocità, è la derivata prima, se la derivata seconda rappresenta la variazione di pendenza, vuol dire che il vettore velocità cambia di direzione con rapidità infinita, no???
Confesso che davero non mi rendo ragione di queste contraddizioni in ciò che scrivi.

Insomma per finire:
$ (|f''(x)|)/(1+f'(x)^2)^(3/2)=k=1/(R(x))$
se f''(x) rende a infinito, anche k tende a infinito, R tende a zero e la pendenza della curva cambia drasticamente in uno spazio infinitesimo, mi pare!!!!

Ri-ciao.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda DikDIkVanDIk » 09/11/2019, 16:24

Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura R tende all'infinito, e la curvatura 1R tende a zero

Appunto, la curva y=x^3/2 è tutt'altro che piatta nell'origine, ha raggio di curvatura zero, non infinito, quindi localmente è approssimata da una circonferenza di raggio nullo, è come se mettessimo un punto materiale sopra una circonferenza di raggio nullo, se la circonferenza avesse raggio finito diverso da zero (o infinito) allora il punto starebbe in equilibrio (instabile), ma se la circonferenza ha raggio nullo (fisicamente senza senso) allora il punto materiale ci "slitta" e si muove anche in condizioni iniziali nulle e assenza di forze. Questo perché la curva y=x^3/2 è tutt'altro che realizzabile realmente. Almeno come la penso io.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda mgrau » 09/11/2019, 16:27

Falco5x ha scritto:.... ma si distende subito diventando una curva normale appena ci si sposta immediatamente a destra dello zero.
Detta così mi pare difficile da visualizzare e tanto meno da realizzare. Se provo a realizzarla traccio solo una parte di curva che è già "normale", in nessun modo riesco a rappresentarla su quel famigerato punto di zero dove inizia, a qualunque livello di scala io tenti di lavorarci.

Ma, detta così, non significa proprio che è perfettamente realizzabile? "A qualunque livello di scala" ciò che realizzi è indistinguibile dalla curva teorica... quindi anche a scala atomica, immagino... il che vuol dire, secondo me, non che la curva non si può realizzare, ma piuttosto che, fisicamente , non esiste.
E quanto alla soluzione matematica e paradossale: ma proprio non mi vuoi dire da che parte cade? Mi pare che hai glissato un po' troppo su questo punto. Questa cosa, che la soluzione non determina il lato di caduta, a me pare un baco fondamentale; a te no?
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 09/11/2019, 18:44

mgrau ha scritto:E quanto alla soluzione matematica e paradossale: ma proprio non mi vuoi dire da che parte cade? Mi pare che hai glissato un po' troppo su questo punto. Questa cosa, che la soluzione non determina il lato di caduta, a me pare un baco fondamentale; a te no?

Ma mica sono un guru della geometria analitica io, mica possiedo il verbo per ogni dubbio altrui, quando manco di risposte io stesso perfino per i dubbi miei! :D
Francamente mi pare un problema minore quello che poni, che però può benissimo venire discusso.
Proviamoci.
Se io scrivo $y=x^k$ con k reale non intero, la funzione è definita nel campo reale solo per x>=0.
Dunque la soluzione in t direbbe che cade a destra, cioè x positivi per t positivi, visto che a sinistra dello zero c'è il muro della non esistenza.
Ma se scriviamo la funzione $y=(-x)^k$, questa è definita solo per x<=0, dunque la soluzione diventa opposta per cui il corpo scende a sinistra.
Una funzione somma di queste due, che si scriverebbe col valore assoluto di x, è ambigua, perché non è possibile risolverla in modo unitario, occorre dire se il corpo messo sulla sommità sta sulla curva 1 o sulla curva 2, e allora case di conseguenza.
Ma, ripeto, è solo una astrazione matematica, in realtà una curva così non è fisica e non esiste.
Più di così non so dirti.
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Re: Paradosso fisico (dinamica classica newtoniana)

Messaggioda Falco5x » 09/11/2019, 18:46

DikDIkVanDIk ha scritto:
Più una curva piana tende a diventare "piatta" , più la sua curvatura diminuisce, e il suo raggio di curvatura aumenta, mi pare. Come caso limite prendiamo una retta : la curvatura è nulla, il suo raggio di curvatura è infinito, in ogni punto.
Se guardi la curva f (in verde) del grafico, noti che, avvicinandosi all'origine da destra, essa si appiattisce sempre di più, quindi il suo raggio di curvatura R tende all'infinito, e la curvatura 1R tende a zero

Appunto, la curva y=x^3/2 è tutt'altro che piatta nell'origine, ha raggio di curvatura zero, non infinito, quindi localmente è approssimata da una circonferenza di raggio nullo, è come se mettessimo un punto materiale sopra una circonferenza di raggio nullo, se la circonferenza avesse raggio finito diverso da zero (o infinito) allora il punto starebbe in equilibrio (instabile), ma se la circonferenza ha raggio nullo (fisicamente senza senso) allora il punto materiale ci "slitta" e si muove anche in condizioni iniziali nulle e assenza di forze. Questo perché la curva y=x^3/2 è tutt'altro che realizzabile realmente. Almeno come la penso io.

Grazie!
Finalmente una considerazione che condivido.
:smt023 :smt041
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